Dati registro
insegnamento: Calcolo delle
Variazioni A
codice: 096AA
corso di studi: Laurea Magistrale
inb Matematica (WMA-LM)
anno accademico: 2023-2024
responsabile: Giovanni Alberti
docente: Giovanni Alberti
totale ore: 48
Lezioni
-
Mer 28/02/2024, 11:00-13:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Presentazione del programma del corso.
Concetto base: trovare un minimo per certi funzionali integrali
"equivale" a risolvere un'equazione differenziale. Definizione
della variazione prima di un funzionale F su uno spazio
(vettoriale) X di funzioni.
Calcolo della variazione prima per F(u) := integrale di |nabla
u|^2 + f(x,u) sullo spazio X=C^1_0(Omega) (condizione di
Dirichlet al bordo): forma debole e forma forte, equazione di
Eulero-Lagrange associata (soddisfatta da minimi
sufficientemente regolari).
Stesso calcolo quando lo spazio è X=C^1(chiusura di Omega)
(senza condizioni al bordo): condizioni di Neumann come parte
dell'equazione di E.-L.
- Gio 29/02/2024, 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Determinazione dell'equazione di E.-L. per il funzionale
F(u) := integrale di |nabla u|^2 + f(x,u) e condizione di
Dirichlet u=u_0 al bordo.
Calcolo di variazione prima ed equazione di E.-L. per F(u) :=
integrale di f(x,u,u') su C^1([a,b]) senza condizioni al bordo,
oppure con condizione di Dirichlet.
Calcolo di variazione prima ed equazione di E.-L. per F(u) :=
integrale di f(x,u,nabla u) su C^1(Omega) senza condizioni al
bordo, oppure con condizione di Dirichlet.
Estensione dei calcoli precedenti per F(u) := integrale di
|nabla u|^2 (energia di Dirichlet) nei seguenti casi: a)
aggiunta di un'integrale (semplice) sul bordo; b) vincolo sulla
media di u; c) vincolo u \ge g (problema con ostacolo) (punto
chiave: uso di variazioni unilaterali).
Lasciati da fare: estensione dei calcoli precedenti al caso u
vettoriale; calcolo della variazione prima e dell'equazione di
E.-L. nel caso di F(u) := integrale di | Delta u|^2.
- Mer 06/03/2024, 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Ripasso degli ultimi due esempi della lezione precedente
(problema con ostacolo, vincolo sulla media di u).
Altri esempi di calcolo della variazione prima e dell'equazione
di E.-L.:
a) F(u) := integrale di f(x,u) (f non dipende da nabla u);
b) F(u) := energia di Dirichlet con il vincolo ||u||_2 = 1.
Interpretazione del risultato in termini di moltiplicatori di
Lagrange; interpretazione come calcolo del più piccolo
autovalore del laplaciano.
- Gio 07/03/2024, 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Calcolo di variazione prima ed equazione di E.-L. per F(u) =
integrale_0^1 |u'|^2 (energia di Dirichlet in dimensione 1)
sullo spazio dei cammini u nella sfera S^n con estremi fissati.
Problema chiave: determinazione delle variazioni ammissibili.
Estensione dei calcoli precedenti al caso di X = spazio dei
cammini in una superficie k-dimensionale assegnata M.
L'equazione di E.-L. corrisponde all'equazione delle geodetiche.
Osservazione importante: nel problema precedente un minimo
dell'energia di Dirichlet è anche un minimo del funzionale
lunghezza; viceversa ogni minimo della lunghezza parametrizzato
a velocità costante è un minimo dell'energia di Dirichlet.
- Mer 13/03/2024, 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Equazione delle geodetiche in una varietà Riemanniana.
Variazione prima ed equazione di E.-L. per il funzionale area
sull'insieme delle superfici (di codimensione 1 in R^n) con
bordo assegnato; equazione delle superfici minime: la curvatura
media è uguale zero.
Le variazioni ammissibili sono (rappresentate da) campi di
vettori sulla superficie.
- Gio 14/03/2024, 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione e calcolo della variazione "interna" per F(u) :=
integrale_a^b di f(x,u,u'). Usando le variazioni interne si
ottiene una condizioni necessaria di minimalità più debole
dell'equazione di E.-L. (in particolare se u è vettoriale).
Tuttavia se f non dipende da x si ottiene la forma di du
Bois-Reymond dell'equazione di E.-L., che ha senso anche se u è
solo di classe C^1.
Derivazione formale della variazione interna nel caso precedente
a partire da quella esterna.
Problema con discontinuità libera in dimensione uno: le
variazioni interne danno una condizione necessaria per la
minimalità che non segue dall'equazione di E.-L.
Esempi semplici di non esistenza dei minimi; ruolo delle
condizioni al bordo.
Sintesi di quanto visto nelle prime sei lezioni.
- Mer 20/03/2024, 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Esistenza dei minimi: il metodo diretto nel Calcolo delle
Variazioni. Risultato di esistenza del minimo di un funzionale F
su uno spazio astratto X, versione base: F semicontinuo
inferiormente e X compatto; versione di uso più frequente: F
semicontinuo inferiormente e coercivo.
Esempio con X di dimensione infinita: esistenza delle geodetiche
in spazi metrici compatti (intese come cammini di lunghezza
minima che connettono due punti assegnati).
Risultato di compattezza astratto: teorema di Banach-Alaoglu.
Risultato di compattezza in spazi di Sobolev (del primo ordine,
su domini regolari e limitati).
- Gio 21/03/2024, 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di convergenza debole di una successione (u_n)
nello spazio di Sobolev W^{1,p}(Omega): u_n --> u e nabla u_n
--> nabla u in L^p debole (debole* per p = infinito)
Fatto base 1: se u_n converge debole a u in L^1 e le derivate
nabla u_n sono equi-limitate in L^p allora si ha la convergenza
debole in W^{1,p}, e forte in L^q per q < p* (esponente
dell'immersione di Sobolev).
Fatto base 2: un funzionale F su W^{1,p} è coercivo (debole) se
e solo se F(u_n) limitata implica che la successione (u_n) è
equi-limitata in W^{1,p}.
Esempio: esistenza del minimo di F(u) := integrale di |nabla
u|^2 + f(x,u) con f a crescita quadratica dal basso e sci in u e
X = W^{1,2} (senza condizioni al bordo).
- Mer 10/04/2024, 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Condizioni che garantiscono la coercività di un funzionale
integrale definito su un sottoinsieme X di su W^{1,p} (chiusura
debole di X + ipotesi di crescita sulla funzione integranda).
Esempi.
Traccia sul bordo di una funzione di Sobolev. Esistenza per
problemi con condizioni al bordo di tipo Dirichlet. Uso di norme
equivalenti per dimostrare la coercività.
- Gio 11/04/2024, 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Una classe di norme equivalenti su Spazi di Sobolev di
ordine k definiti su aperti connessi e non solo (dimostrazione
dettagliata).
Disuguaglianza di Poincaré generalizzata (dimostrazione
dettagliata).
- Mer 17/04/2024, 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Esempio di esistenza (con condizione di Dirichlet su parte
del bordo).
Strategia generale per l'esistenza di minimi di un funzionale
integrale F definito su un sottoinsieme X di W^{1,p} (ripresa da
una lezione precedente): ipotesi di crescita su una funzione
integranda f(x,u,nabla u) generale che garantiscono la
coercività di F nel caso in cui X coincide con tutto lo spazio,
e nel caso in cui X è un sottoinsieme definito da una certa
classe di condizioni. Esempi concreti di tali condizioni.
- Gio 18/04/2024, 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Primo risultato di semicontinuità debole su W^{1,p} per
funzionali integrali F con integranda f=f(x,u,z) (con z=nabla u)
che è misurabile in tutte le variabili, semicontinua in (u,z)
per quasi ogni x, convessa in z per quasi ogni x ed ogni u.
Dimostrazione nel caso in cui f non dipende da u, passando dalla
semicontinuità debole per funzionali integrali G(v) su L^p con
integranda g(x,v) convessa e semicontinua inferiormente in v per
quasi ogni x.
Dimostrazione nel caso in cui f dipende anche da u, passando
dalla semicontinuità forte-debole per funzionali integrali
G(u,v) su L^q x L^p con funzione integranda g(x,u,v) continua in
u, uniformemente in v.
- Mer 24/04/2024, 11:00-13:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
La semicontinuità forte di un funzionale F con integranda
f(x,z) (con z=nabla u) implica la semicontinuità inferiore della
funzione integranda f nella variabile z per quasi ogni x.
La semicontinuità debole implica la convessità di f nella
variabile z per quasi ogni x nel caso in cui la variabile u
abbia valori reali (problemi scalari) oppure nel caso in cui x è
reale (problemi uno-dimensionali). Nei casi rimanenti si ottiene
che f deve essere rango-uno convessa.
- Gio 02/05/2024, 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Richiamo del risultato della lezione precedente sulle
condizioni necessarie per la semicontinuità forte/debole di un
funzionale integrale F con integranda f=f(x,z) (z=nabla u).
Varianti di questo risultato: 1) condizioni necessarie per la
semicontinuità forte/debole su un sottospazio di W^{1,p}
definito da una condizione al bordo di Dirichlet; 2) estensione
al caso f=f(x,u,z) (dimostrazione solo accennata, nel caso che f
sia continua in u, uniformemente in x e z).
Definizione di convessità / R1-convessità / policonvessità /
quasiconvessità per funzioni f definite sullo spazio delle
matrici m x n. Relazione con la semicontinuità debole del
funzionale integrale associato (caso vettoriale), solo
enunciata.
Caratterizzazione della convessità in termini di disuguaglianza
di Jensen;
la disuguaglianza che definisce la quasiconvessità corrisponde
alla disuguaglianza di Jensen per una particolare classe di
funzioni test.
- Mer 08/05/2024, 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Relazioni tra le varie nozioni di convessità per la funzione
integranda f(z) e la semicontinuità debole per il funzionale
F(u) = integrale di f(nabla u):
Teorema 1: f policonvessa (e finita) implica f quasiconvessa.
Teorema 2: f policonvessa (e positiva) implica F debolmente sci
su W^{1,p} con p>n.
Passo chiave nella dimostrazione per m=n=2: rappresentazione del
determinante del gradiente di u come divergenza e continuità del
determinante del gradiente rispetto alla convergenza debole in
W^{1,p}.
Passo chiave nella dimostrazione del caso generale:
rappresentazione del determinante di un minore k x k del
gradiente come differenziale di un'opportuna forma.
- Gio 09/05/2024, 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Ancora sulle relazioni tra le varie nozioni di convessità
per la funzione integranda f e la semicontinuità debole per il
funzionale associato F.
Teorema 1: f quasiconvessa (e finita) implica f R1-convessa, che
implica f localmente Lipschitz,
Teorema 2: F debolmente sci su W^{1,p} implica f quasiconvessa.
- Mer 15/05/2024, 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Ultima lezione sulle relazioni tra le varie nozioni di
convessità per la funzione integranda f(z) e la semicontinuità
debole per il funzionale associato F.
Teorema 1: f quasiconvessa (e finita) implica F debolmente sci
su W^{1,infinito}.
Cenno al caso f=f(x,u,z) e alla semicontinuità debole su
W^{1,p}.
- Gio 16/05/2024, 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Dimostrazione di alcuni risultati utilizzati nelle lezioni
precedenti, tra cui il teorema di differenziabilità quasi
ovunque per funzioni W^{1,p}(Omega) con Omega aperto di R^d e
p>d.
Nuovo argomento: equazione di Eulero-Lagrange per minimi in
spazi di Sobolev.
Lemma di derivazione sotto il segno di integrale (con cenno di
dimostrazione). Derivazione dell'equazione di E.-L. in forma
debole (distribuzionale) per il funzionale F(u) := int_a^b
|u'|^2 + g(x,u) con g sufficientemente regolare; l'equazione di
E.-L. in forma debole implica che u appartiene a W^{2,1} e che
l'equazione di E.-L. vale in senso forte (puntuale).
Cenno al caso di un funzionale più generale, sempre in
dimensione uno.
- Lun 20/05/2024, 18:00-20:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Esercizio: regolarità dei minimi ed equazione di E.-L. in
forma forte per funzionali in dimensione 1 con integranda
f=f(x,u,u') sufficientemente regolare e uniformemente
strettamente convessa nella variabile z=u'.
Derivazione dell'equazione di E.-L. in forma debole per F(u) =
int |nabla u|^2 + g(x,u) con g sufficientemente regolare; si
ottiene che il laplaciano di u (inteso nel senso delle
distribuzioni) appartiene a L^p.
Regolarità di base: sia u una funzione in L^2(R^n) con Delta u
in L^2(R^n); allora u appartiene a W^{2,2}(R^n).
Corollario: dato Omega aperto regolare e u in W^{1,2}(Omega) con
Delta u in L^2(Omega), allora u appartiene a W^{2,2}_loc(Omega).
Attenzione l'enunciato senza "loc" non vale.
- Mer 22/05/2024, 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Regolarità di base. Teorema 1: dato Omega aperto regolare e
u in W^{1,2}(Omega) con Delta u in L^2(Omega) e u=0 sul bordo,
allora u appartiene a W^{2,2}(Omega).
Definizione distribuzionale della condizione "div v=f su Omega e
v dot nu=0 sul bordo di Omega" (dove nu è la normale esterna al
bordo di Omega).
Teorema 2: sia u in W^{1,2}(Omega) con Delta u in L^2(Omega) e
la derivata normale di u = 0 sul bordo di Omega (nel senso delle
distribuzioni) allora u appartiene a W^{2,2}(Omega).
Cenno al caso Delta u in L^p(Omega).
- Gio 23/05/2024, 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Rilassamento.
Motivazione: ricerca di un minimo in uno spazio di funzioni
regolari partendo dall'esistenza del minimo in uno spazio di
Sobolev e usando la teoria della regolarità. Cosa succede se il
minimo di Sobolev non è regolare? È comunque il limite delle
successioni minimizzanti regolari?
Queste e altre domande giustificano la definizione astratta di
rilassamento di una funzione F definita su un sottoinsieme X' di
uno spazio metrico. Proprietà astratte del rilassamento. In
generale il rilassamento di un funzionale integrale F ristretto
ad un sottospazio di funzioni regolari potrebbe non essere il
funzionale F stesso (collegamento con il fenomeno di
Lavrentiev).
- Lun 27/05/2024, 18:00-20:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Gamma convergenza.
Definizione di equicoercività una successione di funzioni F_n su
uno spazio metrico X alla funzione F; definizione di
Gamma-convergenza di una successione di funzioni F_n su uno
spazio metrico X alla funzione F.
Proprietà elementari della Gamma-convergenza, tra cui quella
fondamentale: se le funzioni F_n sono equicoercive e
Gamma-convergono a F, i minimi x_n di F_n convergono (a meno di
sottosuccessioni) ai minimi di F.
Esempi (in contesto astratto).
- Mer 29/05/2024, 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Gamma-convergenza dei funzionali di Ginzburg-Landau scalari
(Teorema di Modica-Mortola).
Interpretazione fisico del funzionale di Ginzburg-Landau scalare
F_epsilon e comportamento euristico per epsilon che tende a
zero: convergenza dei minimi di F_epsilon alla funzione
caratteristica di un insieme che minimizza l'area
dell'interfaccia.
Formulazione intuitiva del teorema di Gamma convergenza.
- Gio 30/05/2024, 16:00-18:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Gamma-convergenza dei funzionali di Ginzburg-Landau scalari.
Passi per una dimostrazione rigorosa:
1) formula di coarea (per funzioni regolari, dimostrazione solo
accennata);
2) spazio delle funzioni BV su un aperto Omega: definizione
distribuzionale, esempi significativi (funzioni C^1 a tratti con
discontinuità), teoremi di immersione / compattezza /
approssimazione con funzioni regolari (dimostrazioni solo
accennate);
3) insiemi di perimetro finito in un aperto Omega: esempi
significativi, teoremi di compattezza e di approssimazione con
insiemi regolari (dimostrazioni solo accennate), teorema di
struttura della derivata (solo enunciato).
4) Enunciato e dimostrazione del teorema di Modica-Mortola.