Dati registro

insegnamento: Analisi Matematica I
codice: 158AA
corso di studi: Ingegneria Gestionale (IGE-L)
anno accademico: 2021-2022
responsabile: Giovanni Alberti 
docenti: Giovanni Alberti, Alessandra Pluda
totale ore: 121 (lezioni: 68 ore, esercitazioni: 53 ore)
totale ore Giovanni Alberti: 91 (lezioni: 63 ore, esercitazioni: 28 ore)
totale ore Alessandra Pluda: 30 (lezioni: 5 ore, esercitazioni: 25 ore)

Lezioni

1. Mar 28/09/2021 11:30-13:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Introduzione al corso: docenti, programma, ricevimenti, strumenti del corso (Teams + pagina sul portale e-learning), materiale didattico, esami. Inizio del ripasso delle nozioni di base.
2. Gio 30/09/2021 10:45-11:30 (1 ora) lezione, Alessandra Pluda.
   Grafici delle funzioni elementari (prima parte). Funzioni potenza x^a: insieme di definizione. Funzioni potenza x^a con a positivo: grafico.
3. Gio 30/09/2021 11:30-13:30 (2 ore) lezione non tenuta per sovrapposizione con un impegno istituzionale del docente.
4. Ven 01/10/2021 08:30-10:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Ripasso delle nozioni di base: grafico delle funzioni potenza con esponente negativo, grafico delle funzioni esponenziali.
   Operazioni con i grafici: dato il grafico di f(x), disegnare i grafici di f(x)+a, f(x+a), -f(x), f(-x), |f(x)|, f(|x|).
   Funzioni pari e funzioni dispari.
5. Ven 01/10/2021 10:30-11:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
   Esercizi sui grafici ottenibili a partire da quelli delle funzioni elementari.
6. Sab 02/10/2021 08:30-09:30 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
   Ripasso delle nozioni di base: grafico della funzione log x; dato il grafico di f(x), disegnare i grafici di af(x) e f(a); nozioni base di trigonometria: seno, coseno e tangente.
7. Sab 02/10/2021 09:30-11:30 (2 ore) esercitazione, Giovanni Alberti.
   Esercizi sui grafici ottenibili a partire da quelli delle funzioni elementari.
8. Mar 05/10/2021 11:30-13:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Prosecuzione del ripasso di trigonometria: proprietà utili di seno, coseno e tangente; grafico delle funzioni periodiche, periodicità delle funzioni sen(x), cos(x), tan(x) e loro grafici. Coordinate polari e formule di conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane.
9. Gio 07/10/2021 10:30-12:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Definizioni e nozioni di base sulle funzioni. Definizione di funzione (tra insiemi arbitrari) come "procedura". Immagine di una funzione; interpretazione grafica dell'immagina. Esempi di determinazione dell'immagine e del dominio per funzioni date come grafici. Funzioni date da formule, e insieme di definizione. Esempi di determinazione dell'immagine per funzioni date da formule. Altri esempi di funzioni.
10. Gio 07/10/2021 12:30-13:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sui grafici di funzioni elementari.
11. Ven 08/10/2021 08:30-10:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Funzioni surgettive e funzioni iniettive, interpretazione grafica dell'iniettività. Funzione inversa: costruzione (in termini di risoluzione dell'equazione f(x)=y) e proprietà. Grafico della funzione inversa. Esempi di funzioni invertibili da R in R. Il logaritmo come inversa dell'esponenziale (bisogna come funzione da R nell'insieme dei numeri positivi). Inverse "imperfette": in che senso la radice quadrata è l'inversa del quadrato?
12. Ven 08/10/2021 10:30-11:20 (1 ora) esercitazione, Alessandra Pluda.
    Esercizi sulle funzioni iniettive e suriettive.
    Trovare il numero delle soluzioni dell'equazione f(x)=a al variare del parametro reale a. 
13. Sab 09/10/2021 08:30-09:30 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Funzioni trigonometriche inverse: definizione e grafico.
14. Sab 09/10/2021 09:45-11:30 (2 ore) esercitazione, Alessandra Pluda.
    Esercizi sulle funzioni inverse.
15. Mar 12/10/2021 11:30-13:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Limiti di funzioni.
    Significato intuitivo della frase "f(x) tende a L per x che tende a +infinito" (ed interpretazione a livello di grafico).
    Significato preciso (definizione di limite per x che tende a +infinito).
    Esempio importante: il limite di sen(x) per x che tende a +infinito non esiste.
    Data f definita su X, quando ha senso parlare di limite per x che tende a +infinito?
    Definizione di limite infinito per x che tende a +infinito.
    Definizione di limite finito per x che tende a x_0 finito.
16. Gio 14/10/2021 08:30-11:30 (3 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Ancora sul limite di una funzione f definita su X per x che tende a x_0 finito: quando tale limite ha senso?
    Esempio importante: il limite di 1/x per x che tende a 0 non esiste. Definizione di limite destro e sinistro.
    Funzioni continue e relazione con la nozione di limite. Le funzioni elementari sono tutte continue (sul loro insieme di definizione). Lo astesso vale per le funzioni che si ottengono combinando funzioni elementari (in un'unica formula).
    Prime regole semplici per il calcolo dei limite: limite della somma, del prodotto e del rapporto di due funzioni. Regole nel caso che uno o più limiti siano infiniti. Casi "indeterminati".
17. Ven 15/10/2021 08:30-10:30 (2 ore) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Ripasso delle regole elementari per il calcolo dei limiti, e regola del cambio di variabile. Esercizi sul calcolo dei limiti.
18. Ven 15/10/2021 10:30-11:30 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Derivate. Motivazione geometrica: calcolo della pendenza della retta tangente al grafico di una funzione in un punto dato.
    Definizione di derivata come limite del rapporto incrementale. La funzione valore assoluto non è derivabile in 0; la funzione potenza x^a con 0<1 ha derivata infinita in 0.
19. Sab 16/10/2021 08:45-09:35 (1 ora) lezione, Alessandra Pluda.
    Elenco delle derivate delle funzioni elementari. Elenco delle formule di derivazione con esempi (derivata della somma, derivata del prodotto, derivata del rapporto, derivata della funzione composta).
20. Sab 16/10/2021 09:45-11:25 (2 ore) esercitazione, Alessandra Pluda.
    Esercizi sul calcolo delle derivate. Esercizi sul calcolo dei limiti.
21. Mar 19/10/2021 11:30-13:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Interpretazione fisica delle derivate: velocità scalare come derivata dello spazio percorso, velocità vettoriale come derivata del vettore posizione; relazione tra velocità scalare e velocità vettoriale.
    Dimostrazione delle regole e delle formule per il calcolo delle derivate esposte nella lezione precedente: derivata di somma, prodotto e rapporto di due funzioni, derivata della funzione composta; derivate delle funzioni lineari, delle funzioni esponenziali, del logaritmo, e delle potenze.
22. Gio 21/10/2021 10:30-11:30 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Conclusione delle dimostrazioni riguardanti le derivate: derivate delle funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente) e della loro inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente).
23. Gio 21/10/2021 11:30-13:30 (2 ore) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sul calcolo delle derivate e sulle forme indeterminate dei limiti.
    Enunciato del teorema di de L'Hôpital; esempi di uso, esempi di uso scorretto o in cui non si arriva ad una conclusione, esempio di rapporto di funzioni per cui esiste il limite ma non esiste il limite del rapporto delle derivate.
24. Ven 22/10/2021 08:30-09:30 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Infiniti ed infinitesimi, nozione di trascurabilità di una funzione rispetto ad un'altra (notazione << e "o piccolo"). Esempi fondamentali: gerarchia degli finiti/infinitesimi elementari per x che tende a +infinito e per x che tende a zero.
25. Ven 22/10/2021 09:30-10:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sui limiti svolti utilizzando le gerarchie di infiniti e infinitesimi viste in precedenza.
26. Ven 22/10/2021 10:30-11:30 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Nozione di equivalenza asintotica di due funzioni (simbolo ~). Esempi. Proprietà fondamentali, incluso il principio di sostituzione nei limiti.
27. Sab 23/10/2021 08:30-11:30 (3 ore) esercitazione, Alessandra Pluda.
    Esercizi sulla trascurabilità (riordinare una lista di funzioni rispetto a <<, capire quando f è o piccolo di g con g dipendente da un parametro). Esercizi sui limiti. Esercizi sull'interpretazione geometrica delle derivate.
28. Mar 26/10/2021 11:30-13:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Preparazione per lo sviluppo di Taylor: notazione compatta per le somme, fattoriale, definizione di "o grande" ed esempi di uso, derivate di ordine superiore. Polinomio di Taylor (in zero) di una funzione e teorema dello sviluppo di Taylor (dimostrazione rimandata a più tardi).
29. Gio 28/10/2021 10:30-13:30 (3 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Calcolo degli sviluppi di Taylor di alcune funzioni elementari: exp(x), cos(x), sen(x), log(1+x), (1+x)^a.
    Sviluppi di Taylor delle funzioni pari/dispari.
    Uso dello sviluppo di Taylor di exp(x) per calcolare il valore di "e" con errore inferiore a 1/1000.
    Formula del binomio di Newton.
30. Ven 29/10/2021 08:30-11:30 (3 ore) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sul calcolo dei polinomi di Taylor. Regole per la gestione di "o grandi" e "o piccoli".
31. Sab 30/10/2021 08:30-11:30 (3 ore) lezione non tenuta per sovrapposizione con altri impegni del docente.
32. Mar 02/11/2021 11:30-13:15 (2 ore) esercitazione, Alessandra Pluda.
    Parte principale di f(x) per x che tende a zero\a infinito. Esercizi elementari sulle parti principali.
33. Gio 04/11/2021 10:30-12:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Definizioni su massimi e minimi: valore massimo e minimo di un insieme di numeri reali, valore massimo e minimo di una funzione, punti di massimo e minimo assoluti di una funzione, punti di massimo e minimo locale. Esempi.
    Estremo superiore e inferiore di un insieme dato da un'unione finita di intervalli; estremo superiore ed inferiore dei valori di una funzione. Esempi. 
34. Gio 04/11/2021 12:30-13:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sul calcolo delle parti principali.
35. Ven 05/11/2021 08:30-10:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Ricerca dei massimi e minimi di una funzione. Teorema di Weierstrass sull'esistenza dei punti di massimo e minimo (senza dimostrazione). Proposizione base: in un punto di max/min (locale) interno al dominio la derivata è zero (con dimostrazione).
    Algoritmo per la ricerca dei punti (e dei valori) di massimo e minimo per una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato. Algoritmo per la ricerca dei punti di massimo e minimo per una funzione continua su un'unione finita di intervalli (non necessariamente chiusi né limitata).
36. Ven 05/11/2021 10:30-11:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sulla ricerca dei punti di massimi e minimo (assoluti) di una funzione.
37. Sab 06/11/2021 08:30-09:30 (1 ora) esercitazione, Alessandra Pluda.
    Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi assoluti (su tutto R, in un intervallo).
38. Sab 06/11/2021 09:30-10:30 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange (con dimostrazione).
39. Sab 06/11/2021 10:30-11:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sulle parti principali.
40. Mar 09/11/2021 11:45-13:25 (2 ore) esercitazione, Alessandra Pluda.
    Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi. Esercizi sulle parti principali.
41. Gio 11/11/2021 10:30-13:30 (3 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Definizione di funzione crescente e di funzione decrescente (strettamente e non). Caratterizzazione in termini di segno della derivata per funzioni definite su un intervallo (con dimostrazione). Esempi.
    Definizione geometrica di funzione convessa e di funzione concava (definita su un intervallo). Riscrittura della definizione come disequazione.
42. Ven 12/11/2021 08:30-10:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Caratterizzazione di convessità e concavità di una funzione in termini di monotonia della derivata e di segno della derivata seconda (con dimostrazione).
    Dimostrazione parziale del teorema di de L'Hôpital. Dimostrazione del teorema dello sviluppo di Taylor (per d=2).
43. Ven 12/11/2021 10:30-11:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sparsi: limite di (1=a/x)^x per x che tende a infinito; disegno del grafico di una funzione; determinazione del numero di soluzioni di un'equazione (non risolubile esplicitamente) al variare di un certo parametro.
44. Sab 13/11/2021 08:40-11:30 (3 ore) esercitazione, Alessandra Pluda.
    Esercizi su convessità, massimi e minimi, applicazioni dello studio di funzione, parti principali.
45. Mar 16/11/2021 11:30-13:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Integrale (definito) di una funzione, inteso come differenza di aree. Definizione di primitiva di una funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Esempi di applicazione.
46. Gio 18/11/2021 10:30-13:30 (3 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Calcolo degli integrali e delle primitive (integrali indefiniti).
    Tabella delle primitive elementari (da ricordare).
    Regole di integrazione (per gli integrali definiti e indefiniti): integrale della somma di due funzioni; integrale del prodotto di una funzione per una costante; formula di integrazione per parti; formula di cambio di variabile. Esempi di applicazione delle regole.
47. Ven 19/11/2021 08:30-10:30 (2 ore) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sul calcolo degli integrali tramite cambio di variabile. Due paradossi della formula di cambio di variabile: integrale tra -1 e 1 di 1/(1+x^2) con cambio di variabile y=1/x; integrale tra -2 e 2 di exp(x^2) con cambio di variabile y=x^2.
48. Ven 19/11/2021 10:30-11:30 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Approssimazione dell'integrale (definito) con somme finite (somme di Riemann). Stima quantitativa dell'errore tramite una maggiorazione del valore assoluto della derivata (solo enunciato), stima dell'errore tramite una maggiorazione del valore assoluto della derivata seconda per somme di Riemann centrate (solo enunciato).
49. Sab 20/11/2021 08:40-11:30 (3 ore) esercitazione, Alessandra Pluda.
    Esercizi sul calcolo delle primitive. Calcolo di una primitiva di 1/(ax^2+bx+c) e di (dx+e)/(ax^2+bx+c) al variare di d,e,a,b,c. Utilizzo degli integrali per calcolare l'area compresa tra il grafico di due funzioni.
50. Mar 23/11/2021 11:30-12:30 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Altro significato dell'integrale: distanza percorsa da un punto in movimento come integrale della velocità (scalare). Lunghezza di una curva (vista come traiettoria di un punto in movimento). Lunghezza del grafico di una funzione.
51. Mar 23/11/2021 12:30-13:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sul calcolo della lunghezza delle traiettorie e delle curve.
52. Gio 25/11/2021 10:30-12:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Altro significato dell'integrale: formula per il lavoro (di una forza su un punto in movimento) come integrale, derivata dalla formula elementare.
    L'area di una figura piana come integrale della lunghezza delle sezioni ortogonali ad una retta data (con giustificazione).
    Il volume di una figura solida come integrale dell'area delle sezioni piane ortogonali ad una retta data (con giustificazione). Applicazione: prima formula per il volume dei solidi di rotazione.
53. Gio 25/11/2021 12:30-13:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esempi di calcolo del volume dei solidi: sfera, cono retto a base circolare, cono con base (planare) arbitraria.
54. Ven 26/11/2021 08:30-11:30 (3 ore) esercitazione, Alessandra Pluda.
    Esercizi sul calcolo di aree con l'utilizzo di integrali. Data la legge oraria di un punto nel piano calcolare la velocità, il modulo della velocità, l'accelerazione e la distanza percorsa tra due istanti.
55. Sab 27/11/2021 08:30-11:30 (3 ore) lezione non tenuta per svolgere la prima prova in itinere.
56. Mar 30/11/2021 11:30-12:30 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Seconda formula per il volume dei solidi: integrale dell'area delle sezioni cilindriche. Applicazione: seconda formula per il volume dei solidi di rotazione.
57. Mar 30/11/2021 12:30-13:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sul calcolo del volume dei solidi.
58. Gio 02/12/2021 10:30-12:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Integrali impropri. Differenza tra integrali propri e impropri. Integrali impropri semplici. Definizione dell'integrale improprio semplice come limite; possibili comportamenti; calcolo tramite una primitiva.
    Studio del comportamento degli integrali impropri semplici quando non è nota la primitiva. Primi risultati (il comportamento non dipende dall'estremo dove l'integrale non è improprio,...)
59. Gio 02/12/2021 12:30-13:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sul calcolo degli integrali impropri semplici. Esempi fondamentali: integrale da 0 a 1 di 1/x^a ed integrale da 1 a infinito di 1/x^a.
60. Ven 03/12/2021 08:30-10:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Studio del comportamento degli integrali impropri semplici (senza conoscere la primitiva): risultati di base, esistenza degli integrali impropri di funzioni con segno costante, criterio del confronto, criteri del confronto asintotico (debole e forte).
61. Ven 03/12/2021 10:30-11:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sullo studio del comportamento degli integrali impropri semplici.
62. Sab 04/12/2021 08:30-11:20 (3 ore) esercitazione, Alessandra Pluda.
    Esercizi sul calcolo dei volumi di solidi di rotazione. Funzioni definite da integrali: calcolo delle derivata e osservazioni sullo studio di funzione.
63. Mar 07/12/2021 11:30-13:30 (2 ore) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sugli integrali impropri semplici (studio del comportamento tramite cambio di variabile).
    Integrali impropri non semplici: riduzione a integrali impropri semplici. Esempi.
64. Gio 09/12/2021 10:30-13:30 (3 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Ultime osservazioni sugli integrali impropri: esistenza nel caso di funzioni a segno costante (anche per integrali impropri non semplici), criterio della convergenza assoluta (giustificato in termini di aree).
    Equazioni differenziali. Esempi (di motivazione): legge oraria di un solido in caduta libera (campo gravitazionale costante e poi campo non costante), equazione di decadimento.
    Equazioni differenziali del primo ordine: teorema di esistenza e unicità (solo accennato). Equazioni differenziali lineari del primo ordine: forma generale e risoluzione (tramite fattore integrante). Esempi.
65. Ven 10/12/2021 08:30-10:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Equazioni differenziali a variabili separabili: forma generale e risoluzione. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: forma generale; struttura delle soluzioni delle equazioni omogenee; risoluzione delle equazioni omogenee a coefficienti costanti (via risoluzione dell'equazione caratteristica).
66. Ven 10/12/2021 10:30-11:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sulle equazioni a variabili separabili
67. Sab 11/12/2021 08:30-11:30 (3 ore) lezione, Alessandra Pluda.
    Se x_1 risolve un'equazione differenziale lineare con termine noto c(t) e x_2 risolve la stessa equazione con termine noto d(t), allora x_1 + x_2 risolve l'equazione con termine noto c(t)+d(t). La soluzione generale di un'equazione differenziale lineare non omogenea è data dalla somma della soluzione generale dell'equazione omogenea associata e di una soluzione particolare dell'equazione non omogenea.
    Risoluzione delle equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti (del secondo ordine) per particolari classi di termini noti. Esempi.
68. Mar 14/12/2021 11:30-12:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sulle equazioni lineari del primo ordine a coefficienti costanti (risoluzione secondo la procedura usata per quelle del secondo ordine).
69. Mar 14/12/2021 12:30-13:30 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Successioni (sequenze infinite) di numeri reali e definizione di limite. Calcolo dei limiti partendo dai limiti di funzioni.
70. Gio 16/12/2021 10:30-13:30 (3 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Definizione di serie (somma infinita di una successione di numeri) e possibili comportamenti.
    Serie geometrica (con dimostrazione completa del comportamento). Serie di Taylor dell'esponenziale (con dimostrazione della convergenza), del seno, del coseno e della funzione (1+x)^a.
    Definizione del numero e come serie. Definizione di exp(z) con z complesso e dimostrazione della formula exp(ix) = cos(x) + i sen(x).
    Primi risultati sullo studio del comportamento di una serie: esistenza delle serie a termini positivi, teorema del confronto tra serie e integrale (con dimostrazione) e comportamento della serie armonica generalizzata.
71. Ven 17/12/2021 08:30-10:30 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Criteri per la convergenza delle serie (continuazione): criterio del confronto, del confronto asintotico (debole e forte), e della convergenza assoluta (dimostrazioni solo accennate).
    Serie di potenze: definizione, raggio di convergenza, calcolo del raggio di convergenza tramite il criterio del rapporto e della radice (dimostrazione accennata solo per il criterio della radice).
72. Ven 17/12/2021 10:30-11:30 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sull'uso dei criteri di confronto per le serie e sul calcolo del raggio di convergenza.