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insegnamento: Teoria Geometrica della Misura
codice: 225AA
corso di studi: Matematica (WMA-LM)
anno accademico: 2019-2020
responsabile: Giovanni Alberti
docente: Giovanni Alberti
totale ore: 52 (lezioni: 52 ore, di cui 6 fuori programma; tutte le lezioni sono state tenute per via telematica)

Lezioni

1. Gio 12/03/2020 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
   Descrizione del programma del corso. Prima parte: teoria base. Seconda parte: teoria delle correnti (in alternativa: teoria degli insiemi di perimetro finito) e risoluzione del problema di Plateau.
   Il problema di Plateau come linea guida del corso. Descrizione dei diversi approcci all'esistenza di soluzioni (tutti basati sul metodo diretto del Calcolo delle Variazioni):
   a) approccio "insiemistico" (alla Reinfenberg),
   b) approccio "parametrico" (alla Douglas-Radò),
   c) approccio "distribuzionale", vale a dire teoria degli insiemi di perimetro finito (De Giorgi) oppure delle correnti intere (Federer-Fleming).
2. Ven 13/03/2020 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   Ancora sul problema di Plateau: esempi di dati al bordo regolari per cui non esiste il minimo nella classe delle superfici regolari orientate: superfici complesse e coni di Simons (enunciati senza dimostrazioni). Cenni alla regolarità delle superfici minime.
   [Inizio dei preliminari di teoria della misura: solo enunciati, alcune dimostrazioni verranno date in seguito]
   Tipologie di misure usate nel corso: misure esterne, misure di Borel, misure di Radon a valori vettoriali. Proprietà fondamentali delle misure di Borel: regolarità, teorema di Hahn-Lebesgue-Radon-Nikodym.
3. Gio 19/03/2020 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
   Teorema di esistenza dei punti di continuità approssimata L^p per funzioni in L^p.
   Misure vettoriali e teorema di Riesz (le misure a valori in F sono il duale delle funzioni continue a valori nel duale di F); topologia debole delle misure e compattezza dei limitati, proprietà della convergenza debole di misure.
   Misure esterne: definizione, insiemi misurabile (secondo Caratheodory), teorema di Caratheodory.
4. Ven 20/03/2020 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   [Inizio della teoria delle misura di Hausdorff]
   Costruzione di Caratheodory (di una misura esterna additiva sui distanti a partire da una famiglia di insiemi e da una funzione a valori positivi su questa famiglia). Esempio: misura di Lebesgue.
   Misure di Hausdorff: definizione e proprietà di base (dimostrazioni appena accennate, uguaglianza con la misura di Lebesgue enunciata ma non dimostrata).
5. Gio 26/03/2020 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
   Dimensione di Hausdorff: definizione e proprietà di base. Calcolo della dimensione e della misura di Hausdorff dell'insieme di Cantor.
   Inizio della parte sui teoremi di ricoprimento: lemma di Vitali.
6. Ven 27/03/2020 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   Teoremi di ricoprimento alla Vitali (per misure "doubling" su spazi metrici localmente compatti).
7. Gio 02/04/2020 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
   Teorema di Besicovitch. Teoremi di ricoprimento alla Besicovitch (per misure arbitrarie su R^d).
   Applicazioni dei teoremi di ricoprimento, I: in R^d la misura di Lebesgue coincide con la misura di Hausdorff d-dimensionale (prima parte della dimostrazione).
8. Ven 03/04/2020 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   Simmetrizzazione di Steiner, disuguaglianza isodiametrica, e conclusione della dimostrazione dell'uguaglianza tra misura di Lebesgue in R^d e misura di Hausdorff d-dimensionale.
   Applicazioni dei teoremi di ricoprimento, II: esistenza punti di densità di un insieme (rispetto ad una misura su R^d o a una misura doubling su uno spazio metrico qualsiasi).
   Applicazioni dei teoremi di ricoprimento, III: stime sulla densità superiore d-dimensionale di un insieme di misura d-dimensionale finita.
9. Gio 09/04/2020 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
   Teoremi sulla densità superiore di insiemi di misura H^d finita.
   Ulteriori applicazioni dei teoremi di ricoprimento: dimostrazione dell'esistenza dei punti di continuità approssimata in senso L^p e della caratterizzazione puntuale della densità di Radon-Nikodym di una misura rispetto ad un'altra.
10. Ven 17/04/2020 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Caratterizzazione in termini della densità d-dimensionale delle misure (localmente finite) che si scrivono come una funzione di densità per la misura H^d.
    Nuova dimostrazione del fatto che la misura H^d dell'insieme di Cantor C è positiva (dove d è la dimensione di H. di C).
    Inizio della trattazione dei frattali auto-simili nel senso di Hutchinson: dimostrazione dell'esistenza.
11. Gio 23/04/2020 17:00-19:00 (2 ore) lezione.
    Conclusione della trattazione dei frattali auto-simili nel senso di Hutchinson: esempi di alcuni frattali classici, stima dall'alto e dal basso della misura di Hausdorff (la stima dal basso richiede la "open set condition").
    Inizio della trattazione delle misure di Haar (misure invarianti su gruppi topologici): enunciato del teorema di esistenza e unicità per gruppi compatti o localmente compatti.
12. Ven 24/04/2020 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Conclusione della trattazione delle misure di Haar: misure su uno spazio X invarianti rispetto all'azione di un gruppo topologico G: esempio di non esistenza e alcuni risultati di esistenza. Misura invariante sulla Grasmanniana G(N,m) (vista come quoziente di O(n)) e costruzione della misura integralgeometrica m-dimensionale in R^n. Dimostrazione di alcuni dei risultati menzionati in precedenza.
    [Inizio della teoria della rettificabilità]
    Mappe Lipschitziane: compattezza, lemma di estensione di McShane (per funzioni a valori in R) e teorema di estensione di Kirszbraun (senza dimostrazione).
13. Gio 30/04/2020 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Mappe Lipschitziane: teorema di differenziabilità di Rademacher, dimostrato come corollario del teorema di differenziabilità delle funzioni di Sobolev (con esponente di sommabilità p sufficientemente grande); proprietà di Lusin con le funzioni C^1, ottenuta come corollario del teorema di estensione di Whitney.
    Formula dell'area per parametrizzazioni di classe C^1 di una superficie d-dimensionale in R^n.
14. Gio 07/05/2020 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Formula dell'area (con molteplicità) per mappe Lipschitziane da un aperto di R^d in R^n
    Inizio della teoria degli insiemi rettificabili (di dimensione d in uno spazio metrico X). Definizione in termini di ricoprimenti con immagini Lipschitziane, e caratterizzazione in termini di ricoprimento con immagini di mappe C^1 o con superfici di classe C^1 (per X=R^n).
    Definizione di insieme d-puramente non rettificabile.
15. Ven 08/05/2020 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Proprietà degli insiemi rettificabili e puramente non rettificabili. Dimensione e rettificabilità non sono collegate: esempio di insieme 1-puramente non rettificabili di dimensione arbitrariamente grande nel piano. Scomposizione di un insieme di misura H^d sigma-finita come unione di una parte d-rettificabile e di una parte d-puramente non rettificabile.
    Nozione di fibrato tangente d-dimensionale (in senso debole) di un insieme E in R^n, ed esistenza del fibrato tangente per un insieme d-rettificabile.
    Spazio tangente approssimato (in un punto) ad un insieme E di misura H^d localmente finita, definito in termini di convergenza debole della restrizione di H^d al blow-up di E in x; esistenza dello spazio tangente approssimato (in H^d q.o. punto) ad un insieme d-rettificabile.
16. Gio 14/05/2020 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Conseguenze dell'esistenza dello spazio tangente approssimato ad un insieme E nel punto x: la densità di E in x vale 1, e lo stesso vale per la densità relativa ad ogni cono che include il piano tangente.
    Ottimalità del risultato precedente: esempio di insieme 1-rettificabile E di misura finita nel piano l tale che il supporto della misura H^1 ristretta ad E è tutto R^2.
    Due semplici criteri di rettificabilità per insiemi: a) esistenza di un "cono tangente" in ogni punto, b) esistenza di un "cono tangente approssimato" in ogni punto e densità inferiore strettamente positiva in ogni punto (dimostrazione rimandata alla lezione successiva).
17. Ven 15/05/2020 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Dimostrazione del teorema di rettificabilità enunciato nella lezione precedente.
    Osservazioni conclusive e ultimi risultati sugli insiemi rettificabili (enunciati senza dimostrazioni): caratterizzazione della rettificabilità in termini di proiezioni (teorema di Besicovitch-Federer) e in termini di esistenza della densità (teorema di Marsrtand-Mattila-Preiss); teorema di Rademacher per funzioni Lipschitziane su un insieme rettificabile (differenziabilità tangenziale in quasi ogni punto) e formula dell'area.
18. Lun 18/05/2020 09:00-11:00 (2 ore) lezione.
    [Inizio della teoria delle correnti]
    Ripasso dei concetti di base di algebra multilineare: k-covettori (forme k-lineari alternanti) su uno spazio vettoriale V. Prodotto esterno. Base canonica dello spazio dei k-covettori associata ad una base di V. Formula di Binet.
    k-vettori semplici su V, definiti come classi di equivalenza di k-uple di vettori di v.
19. Gio 21/05/2020 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Ancora sui k-vettori semplici: norma di un k-vettore semplice come volume k-dimensionale del parallelepipedo generato dai vettori della k-upla; identificazione dei k-vettori semplici di norma 1 con i k-piani orientati di V.
    k-forme: definizione e derivata esterna (differenziale).
    Orientazione di una superficie (o di una varietà) k-dimensionale e del suo bordo. Integrazione di una k-forma su una superficie orientata e Teorema di Stokes (non dimostrato).
20. Ven 22/05/2020 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Spazio dei k-vettori sullo spazio vettoriale V, definito come spazio dei k-covettori sul duale V*. Rappresentazione dei k-vettori semplici definiti in precedenza come elementi dello spazio dei k-vettori. Base dello spazio dei k-vettori associata ad una base di V; dualità tra k-vettori e k-covettori. Norma rilevanti sullo spazio dei k-vettori: norma euclidea e "massa" (coincidono per i k-vettori semplici), norme sullo spazio dei k-covettori.
    Le superfici k-dimensionali chiuse ed orientate in R^n come funzionali lineari sullo spazio delle k-forme. Correnti k-dimensionali in R^n (generalizzazione delle superfici orientate di dimensione k) definite come funzionali lineari sullo spazio della k-forme di classe C^infinito con supporto compatto. Definizione di bordo e di massa (estensione del volume k-dimensionale).
21. Lun 25/05/2020 09:00-11:00 (2 ore) lezione.
    Topologia sullo spazio delle k-forme di classe C^infinito a supporto compatto e sullo spazio delle k-correnti (accenno), convergenza (debole) di correnti.
    Classi significative di correnti: correnti di massa finita e correnti normali. Esempi.
22. Gio 28/05/2020 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Correnti rettificabili. Relazione tra discontinuità dell'orientazione, derivata della molteplicità e bordo (in un caso semplice).
    Correnti intere. Enunciato del teorema di compattezza (o di chiusura) di Federer e Fleming. Applicazione: soluzione del problema di Plateau nell'ambito delle correnti intere. Discussione (con esempi) delle ipotesi del teorema di compattezza.
23. Ven 29/05/2020 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Ulteriori risultati (solo enunciati): teorema di rettificabilità del bordo, una generalizzazione del teorema di compattezza di F-F, approssimazione in massa tramite correnti poliedrali.
    Limiti della soluzione del problema di Plateau tramite correnti intere (e minimizzazione della massa).
    "Constancy lemma" e risultati collegati.
24. Lun 01/06/2020 09:00-11:00 (2 ore) lezione fuori programma.
    Struttura delle d-correnti con bordo di massa finita in R^d (o supportate su una superficie d-dimensionale).
    Prodotti di correnti (di massa finita); formula per il bordo del prodotto.
    Pull-back di forme e covettori, derivata esterna del pull-back. Push-forward di correnti, bordo del push-forward.  
25. Gio 04/06/2020 16:00-18:00 (2 ore) lezione fuori programma.
    Ancora sul push-forward di correnti: ipotesi sulla mappa nel casi di correnti di massa finita e/o con supporto compatto, stime sulla massa. Push-forward di correnti rettificabili (con dimostrazione). Esempi di calcolo del push-forward. Applicazioni del push-forward: una k-corrente normale è assolutamente continua rispetto alla misura integralgeometrica k-dimensionale (dimostrazione solo accennata), formula di omotopia e costruzione di cono.
26. Ven 05/06/2020 11:00-13:00 (2 ore) lezione fuori programma.
    Norma flat. Proprietà, significato geometrico, esempi di calcolo (stima dall'alto). Stime della massa e della norma flat nella formula di omotopia. Teorema di deformazione poliedrale (con dimostrazione parziale nel caso di correnti senza bordo). Elenco di alcune applicazioni del teorema di approssimazione poliedrale.