Dati registro

insegnamento: Analisi Matematica 3
codice: 547AA
corso di studi: Matematica (MAT-L e WMA-LM)
anno accademico: 2019-2020
responsabile: Giovanni Alberti
docente: Giovanni Alberti
totale ore: 68 (lezioni: 46 ore, di cui 6 fuori programma; esercitazioni: 22 ore, di cui 2 fuori programma)

Lezioni

1. Lun 30/09/2019 11:00-12:00 (1 ora) lezione fuori programma.
   Presentazione del corso: programma, prerequisiti, materiale didattico, mailing list e modalità d'esame.
2. Lun 30/09/2019 12:00-13:00 (1 ora) lezione fuori programma.
   Inizio della teoria della misura e dell'integrazione (ripasso).
   Misura sigma-additiva su una sigma-algebra. Misura che conta i punti. Insiemi misurabili secondo Lebesgue. Misura di Lebesgue (definita alla Caratheodory) e proprietà caratterizzanti: approssimazione della misura di un insieme misurabile con le misure degli aperti contenenti / dei compatti contenuti, approssimazione della misura degli aperti (dei compatti) con le misure dei pluri-rettangoli contenuti (contenenti).
3. Mar 01/10/2019 16:00-18:00 (2 ore) lezione fuori programma.
   Insiemi trascurabili e uso dell'espressione "quasi ovunque". Funzioni e mappe misurabili (rispetto ad una data sigma-algebra). Funzioni semplici. Definizione di integrale delle funzioni semplici, delle funzioni misurabili positive, delle funzioni sommabili (o solamente integrabili) a valori reali, delle funzioni sommabili a valori vettoriali.
   Teoremi di convergenza degli integrali: di convergenza monotona (o di Beppo Levi), di Fatou, di convergenza dominata (o di Lebesgue).
   Teorema di Fubini-Tonelli (per le misure prodotto e per la misura di Lebesgue).
   Teorema di cambiamento di variabile (rispetto a una trasformazione di classe C^1).
4. Gio 03/10/2019 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione fuori programma.
   Osservazioni sparse: l'integrale rispetto alla misura che conta i punti come generalizzazione del concetto di serie; i teoremi di scambio di serie e integrale come caso particolare del teorema di Fubini. Esercizi sul calcolo o la stima degli integrali.
5. Lun 07/10/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   Inizio della teoria degli spazi L^p e della convoluzione.
   Disuguaglianza di Jensen. Norma L^p di una funzione misurabile su X; disuguaglianze di Hölder e di Minkowski. Lo spazio delle funzioni p-sommabili è uno spazio vettoriale e la norma L^p è effettivamente una semi-norma (ma non una norma). Lo spazio L^p(X) come quoziente dello spazio delle funzioni p-sommabili rispetto al sottospazio delle funzioni a norma nulla.
6. Mar 08/10/2019 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione.
   Esercizi sparsi sul calcolo degli integrali e sulle funzioni L^p.
7. Gio 10/10/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   Completezza degli spazi L^p(X) (con dimostrazione completa nel caso di p finito e di X con misura finita; gli altri casi sono stati solo accennati).
   Lo spazio delle successioni p-sommabili l^p ("elle-piccolo p") come caso particolare di spazio L^p.
   La norma di L^p(X) deriva da un prodotto scalare se e solo se p=2 (tranne che per particolari misure).
8. Lun 14/10/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   Confronto tra le seguenti nozioni di convergenza per successioni di funzioni:
   a) convergenza uniforme,
   b) convergenza puntuale (quasi ovunque),
   c) convergenza in L^p,
   d) convergenza in misura.
   Teorema di Severini-Egorov.
   Alcune classi di funzioni dense in L^p: le funzioni limitate e/o con supporto limitato, le funzioni semplici.
9. Mar 15/10/2019 16:00-17:00 (1 ora) lezione.
   Le funzioni continue a supporto compatto sono dense in L^p. Teorema di Lusin (con dimostrazione della versione "base" nel caso di misure finite).
10. Mar 15/10/2019 17:00-18:00 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sparsi sugli spazi L^p: la norma del sup coincide con la norma L^\infinito per le funzioni continue (almeno per certe misure), L^p è separabile se e solo se p è finito, costruzione di un insieme misurabile E in [0,1] tale che E e il suo complementare hanno misura strettamente positiva in ogni sotto-intervallo di [0,1].
11. Gio 17/10/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Prodotto di convoluzione di funzioni su R^d.
    Esempi: 1) formula per il potenziale gravitazionale generato da una distribuzione continua di massa; 2) distribuzione di probabilità associata alla somma di due variabili aleatorie indipendenti (con distribuzioni continue).
    Il prodotto di convoluzione è ben definito se i fattori sono funzioni positive, oppure se i fattori sono in L^1 (ed in tal caso appartiene a L^1) oppure se i fattori sono in L^p e L^q con p e q esponenti coniugati (ed in tal caso è una funzione uniformemente continua infinitesima all'infinito).
12. Lun 21/10/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Enunciato del risultato generale sull'esistenza del prodotto di convoluzione: il prodotto di f_1 in L^{p_1} ed f_2 in L^{p_2} appartiene a L^r con 1 + 1/r = 1/p_1 + 1/p_2 (enunciato dimostrato solo nel caso p_1=r, p_2=1).
    Derivazione del prodotto di convoluzione. Approssimazione delle funzioni L^p per convoluzione; approssimazione con funzioni regolari.
13. Mar 22/10/2019 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sparsi sul prodotto di convoluzione e sulla continuità delle applicazioni lineare tra spazi normati.
14. Gio 24/10/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Inizio della teoria degli spazi di Hilbert.
    Definizione di spazio di Hilbert (reale). Esempi base: L^2(X) e l^2. Definizione di base di Hilbert (come sistema ortonormale completo) ed esempio di base di l^2.
    Rappresentazione di un elemento in termini della base e identità di Parseval (Teorema della base, dimostrato solo nel caso di basi numerabili).
15. Lun 28/10/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Un sistema ortonormale in H spazio di Hilbert è completo se e solo se è massimale; ogni sistema ortonormale si completa ad una base di Hilbert.
    Una base di Hilbert è numerabile se e solo se lo spazio è separabile. esempi di spazi di Hilbert non separabili; come modificare il teorema della base in questi casi.
    Esistenza delle proiezioni ortogonali su sottospazi chiusi. Rappresentazione dei funzionali lineari e continui su tramite prodotto scalare.
16. Mar 29/10/2019 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi più o meno teorici su argomenti sparsi: le norme su uno spazio vettoriale di dimensione finita sono tutte equivalenti; le mappe lineari tra spazi normati con dominio di dimensione finita sono tutte continue; l'integrale è un funzionale lineare e continuo su L^1(X), ed è continuo su L^p(X) con p>1 se e solo se X ha misura finita; esempio di funzionale lineare non continuo su L^p.
    Basi di Haar di L^2(0,1) e di L^2(R) (con dimostrazione completa solo nel primo caso).
17. Gio 31/10/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Inizio della teoria della serie di Fourier per funzioni 2pigreco-periodiche su R.
    Preliminari: spazi di Hilbert complessi e teorema di Stone-Weierstrass (enunciato ma non dimostrato). Teorema principale: l'insieme delle funzioni exp(inx), opportunamente rinormalizzate, formano una base di Hilbert di L^2(-pigreco, pigreco).
18. Lun 04/11/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Relazione tra i coefficienti di Fourier di una funzione e quelli della derivata. Relazione tra la regolarità di una funzione e il comportamento asintotico dei coefficienti di Fourier (espresso in termini di sommabilità).
    Rappresentazione della somma parziale della serie di Fourier di una funzione f come prodotto di convoluzione di f con il nucleo di Dirichlet. Lemma di Riemann-Lebesgue generalizzato. Convergenza puntuale della serie di Fourier in un punto di continuità Hölderiana.
19. Mar 05/11/2019 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione.
    Dimostrazione del lemma di Riemann-Lebesgue generalizzato (enunciato nella lezione precedente).
    Esercizi sul calcolo dei coefficienti della serie di Fourier. Esercizi sul calcolo del complemento ortogonale e delle proiezioni ortogonali.
20. Gio 07/11/2019 11:00-12:00 (1 ora) lezione fuori programma.
    Equazione del calore: definizione significato fisico, alcune possibili condizioni al bordo, derivazione da leggi fisiche elementari.
21. Gio 07/11/2019 12:00-13:00 (1 ora) lezione.
    Equazione del calore in dimensione 1 con condizioni di periodicità al bordo. Risoluzione "formale" tramite la serie di Fourier. Enunciati precisi del teorema di esistenza e del teorema di unicità.
22. Lun 11/11/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Dimostrazione con tutti i dettagli del teorema di esistenza e del teorema di unicità per l'equazione del calore enunciati nella lezione precedente.
23. Mar 12/11/2019 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sulla risoluzioni tramite serie di Fourier di equazioni alle derivate parziali lineari tipo calore (u_t = ...) in dimensione 1 e con condizioni di periodicità al bordo.
24. Gio 14/11/2019 11:00-12:00 (1 ora) lezione fuori programma.
    Equazione delle onde (lineare, scalare) in dimensione qualunque: definizione, significato fisico, esempi di condizioni al bordo e loro significato. Derivazione dell'equazione nel caso di onde longitudinali (onde sonore) in una barra elastica "unidimensionale" a partire dall'approssimazione con un sistema di molle.
25. Gio 14/11/2019 12:00-13:00 (1 ora) lezione.
    Risoluzione "formale" dell'equazione delle onde in dimensione 1 e con condizioni di periodicità al bordo tramite serie di Fourier.
    Rappresentazione della soluzione come somma di due "onde viaggianti"; enunciato e dimostrazione del primo teorema di esistenza.
26. Lun 18/11/2019 11:00-13:00, lezione non tenuta per sospensione didattica dovuta alla piena dell'Arno.
27. Mar 19/11/2019 16:00-17:00 (1 ora) lezione.
    Secondo teorema di esistenza per l'equazione delle onde e teorema di unicità (dimostrati tramite la serie di Fourier).
28. Mar 19/11/2019 17:00-18:00 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sulla risoluzione di EDP con condizioni di periodicità al bordo tramite serie di Fourier. Non risolubilità dell'equazione u_{ttt} = -8 u_{xx} anche per dati iniziali molto regolari.
29. Gio 21/11/2019 09:00-11:00 (2 ore) lezione.
    Varianti della serie di Fourier: serie di F. su [-pigreco, pigreco]^d, serie di F. reale su [-pigreco, pigreco], serie in seni su [0, pigreco]. Uso di quest'ultima rappresentazione in serie per risolvere EDP con dati di Dirichlet al bordo.
    Reinterpretazione dei risultati precedenti in termini di basi di autovettori di operatori auto-aggiunti. Definizione di operatore lineare auto-aggiunto da un sottospazio denso di uno spazio di Hilbert in sé e proprietà di base. Esempio chiave: l'operatore derivata seconda, definito sul sottospazio di L^2(I) dato dalle funzioni di classe C^2 che soddisfano opportune condizioni al bordo.
30. Lun 25/11/2019 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi: risoluzione dell'equazione del calore con condizioni di Dirichlet al bordo; non risolubilità dell'equazione u_{ttt} = -8u_{xx} sia nel passato che nel futuro, anche con dati iniziali di classe C^infinito.
    Esercizi sui coefficienti di Fourier delle funzioni in L^1(-pigreco,pigreco): i coefficienti sono ben definiti, tendono a 0 per n che converge a +/- infinito, individuano univocamente la funzione (dimostrazione solo accennata).
    La disuguaglianza isoperimetrica nel piano (dimostrazione accennata nel caso di insiemi con frontiera parametrizzata da una curva semplice di classe C^1).
31. Mar 26/11/2019 16:00-18:00, lezione non tenuta per permettere lo svolgimento della prima prova in itinere (dalle 16 alle 19).
32. Gio 28/11/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Inizio della teoria della Trasformata di Fourier (TdF) per funzioni di una variabile.
    Derivazione formale della definizione e della formula di inversione a partire dalla serie di Fourier. Definizione della TdF per funzioni in L^1(R). La TdF di una funzione L^1 è continua e infinitesima all'infinito.
    Proprietà fondamentali della TdF, inclusi i collegamenti con la derivata e con il prodotto di convoluzione.
33. Lun 02/12/2019 11:00-12:00 (1 ora) esercitazione.
    Esempi di calcolo della TdF:
      a) exp(-|x|) per calcolo diretto,
      b) 1/(1+x^2) con il metodo dei residui,
      c) exp(-x^2/2) con il metodo dei residui oppure usando il fatto che la funzione risolve un'opportuna equazione differenziale lineare.
34. Lun 02/12/2019 12:00-13:00 (1 ora) lezione.
    Dimostrazione della formula di inversione per funzioni in L^1 con TdF in L^1.
35. Mar 03/12/2019 16:00-17:00 (1 ora) lezione.
    Estensione della TdF alle funzioni in L^2(R) e identità di Parseval. Calcolo della TdF di una funzione in L^2 come integrale improprio. Proprietà di base della TdF su L^2 (estensione delle proprietà già viste per L^1); TdF del prodotto di due funzioni in L^2.
    Una funzione di classe C^1 che sta in L^1 e la cui derivata sta in L^2 ha TdF in L^1, ed in particolare vale la formula di inversione.
36. Mar 03/12/2019 17:00-18:00 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi: legame tra la sommabilità di una funzione e la regolarità della sua TdF; la TdF di una funzione a supporto compatto è analitica, e anzi è la restrizione alla retta reale di una funzione olomorfa su C.
    Calcolo della TdF di x/(1+x^2).
37. Gio 05/12/2019 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Uso della TdF per ricavare la formula risolutiva dell'equazione del calore con dominio spaziale R; teorema di esistenza; discussione dell'unicità.
    Disuguaglianza di Heisenberg: interpretazione e dimostrazione in un caso semplice.
    Ultime osservazioni: TdF per funzioni in più variabili; uso della TdF per la risoluzione di equazioni differenziali; risoluzione dell'equazione di Poisson in R^d.
38. Lun 09/12/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Inizio della teoria delle funzioni armoniche.
    Equazione di Laplace ed equazione di Poisson; le funzioni armoniche come soluzioni di classe C^2 dell'equazione di Laplace.
    Caratterizzazione delle funzioni armoniche in termini di proprietà della media (su sfere o su palle). Regolarità C^infinito delle funzioni armoniche.
39. Mar 10/12/2019 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Proprietà del massimo delle funzioni armoniche; principio del confronto e unicità delle soluzioni dell'equazione di Poisson.
    La funzioni olomorfe e le funzioni anti-olomorfe sono armoniche. Ogni funzione armonica su un aperto semplicemente connesso di R^2 (identificato con C) è la parte reale di una funzione olomorfa. Analiticità e principio del prolungamento analitico per le funzioni armoniche in dimensione due.
    Risoluzione dell'equazione di Laplace con dato al bordo assegnato sul disco unitario di R^2: rappresentazione della soluzione come serie oppure come integrale del dato al bordo con il nucleo di Poisson.
40. Gio 12/12/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Inizio della teoria dell'integrazione su superfici.
    Definizione di superficie k-dimensionale in R^d di classe C^m e senza bordo tramite parametrizzazioni (cioè come sottovarietà "embedded"). Caratterizzazione in termini di equazioni, cioè come luogo di zeri di una mappa da R^d in R^{d-k}.
    Definizione di spazio tangente ad una superficie S in un punto x come insieme delle velocità iniziali dei cammini in S di classe C^1 che partono da x. Determinazione dello spazio tangente a partire dalle parametrizzazioni di S oppure dalle equazioni che definiscono S.
    Mappe regolari definite su una superficie S: definizione in termini di composizione con le parametrizzazioni e caratterizzazione in termini di estensione ad un intorno. Differenziale di una mappa regolare in un punto x come applicazione lineare sullo spazio tangente ad S in x.
    Definizione degli insiemi misurabili (secondo Lebesgue) in una superficie S tramite le parametrizzazioni.
41. Lun 16/12/2019 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Misura di Lebesgue su uno spazio vettoriale k-dimensionale V con prodotto scalare. Determinante di un'applicazione lineare da R^k in V e formula dell'area per una parametrizzazione lineare di V.
    Misura di volume su una superficie k-dimensionale in R^d, univocamente determinata dal comportamento rispetto alle quasi-isometrie, e formula dell'area per parametrizzazioni di classe C^1. Formule alternative per il determinante Jacobiano di una mappa da R^k in R^d.
42. Mar 17/12/2019 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Richiamo della formula dell'area e delle formule alternative per il determinante Jacobiano di una mappa. Casi particolari della formula dell'area: integrazione su curve, su grafici di funzioni, su superfici di dimensione 2 in R^3.
    Integrazione di una funzione su una superficie; formula dell'area per mappe di classe C^1 tra superfici.
    Funzioni k-lineari alternanti. Dimostrazione della formula di Binet generalizzata e della seconda formula per il determinante Jacobiano. Interpretazione geometrica della formula di Binet generalizzata.
    Esercizio: calcolo del determinante Jacobiano per la parametrizzazione standard della sfera in R^3.
43. Gio 19/12/2019 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Calcolo del determinante Jacobiano per la parametrizzazione della sfera d-dimensionale tramite le coordinate sferiche standard. Calcolo del determinante Jacobiano per le coordinate polari in R^d.
    Dimostrazione della formula di integrazione usata nella teoria delle funzioni armoniche.
    Esercizi sulle funzioni armoniche: l'equazione di Poisson e di Laplace sulla palla in R^d con dato al bordo polinomiale e termine noto polinomiale ha una soluzione polinomiale. Stima delle derivate di una funzione armonica in termini della norma del sup della funzione. Analiticità delle funzioni armoniche in dimensione qualunque (traccia).