Dati registro
insegnamento: Calcolo delle
Variazioni A
codice: 096AA
corso di studi: Matematica
(WMA-LM)
anno accademico: 2018-2019
responsabile: Giovanni Alberti
docenti: Giovanni Alberti,
Aldo
Pratelli
totale ore: 60 (GA: 49
ore, AP: 11 ore)
Lezioni
- Lun 25/02/2019 18:00-19:00 (1 ora, Giovanni Alberti)
Lezione introduttiva del corso.
Programma del corso per sommi capi: calcolo della variazione
prima di
un funzionale e dell'equazione di Eulero-Lagrange (assumendo la
regolarità necessaria); teoremi di esistenza per semicontinuità
e
compattezza (metodo diretto del calcolo delle variazioni);
condizioni
necessarie e sufficienti per la semicontinuità debole;
rilassamento;
equazione di Eulero-Lagrange e regolarità di base delle
soluzioni;
disuguaglianza isoperimetrica e simmetrizzazione; approccio alla
Douglas-Radò al problema delle superfici minimi di dimensione
due; due
esempi di Gamma-convergenza: omogeneizzazione e teorema di
Modica-Mortola.
Modalità d'esame. Mailing list del corso. Scelta dell'orario.
Il corso sarà tenuto in inglese.
- Mer 06/03/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
In queste prime lezioni si assume che tutte le funzioni
siano
derivabili quanto necessario per svolgere i calcoli che seguono.
Definizione (astratta) di variazione prima di un funzionale F
definito
su uno spazio vettoriale di funzioni come derivata direzionale
di F in
u nella direzione v. Se u è un minimo di F allora la variazione
prima
di F in u si annulla per ogni v ammissibile (equazione di
Eulero-Lagrange in forma debole), e vale il viceversa se F è
convesso.
Calcolo della variazione prima e dell'equazione di E-L in un
caso
semplice: F(u) = integrale di |nabla u|^2 + f(x,u). (Si usa il
lemma
fondamentale del calcolo delle variazioni, enunciato in forma
generale,
e un'opportuna variante del teorema della divergenza.)
Condizioni al bordo di Dirichlet verso condizioni di Neumann.
- Ven 08/03/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Calcolo della variazione prima e dell'equazione di E-L per
un
funzionale F di forma generale.
F(u) = integrale_a^b f(x,u,u'), con e senza condizioni di
Dirichlet al
bordo, prima nel caso di u scalare su [a,b]e poi nel caso di u
vettoriale.
F(u) = int_Omega f(x,u,nabla u) nel caso di u scalare su Omega.
F(u) = int_Omega f(nabla u) nel caso di u vettoriale su Omega.
Esempio di problema mal posto: minimo di F(u) con u definito su
[a,b],
avendo prescritto sia il valore della funzione u che della
derivata al
bordo.
Lista di esercizi lasciati per casa, con commento.
- Mer 13/03/2019 11:00-13:00
(Giovanni
Alberti). Lezione non tenuta per sovrapposizione con una
riunione di
una
commissione di concorso di cui fa parte il docente.
- Ven 15/03/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Impostazione astratta dell'equazione di Eulero-Lagrange: X è
una
varietà di Banach (senza bordo) ed F è una funzione reale su X
differenziabile in ogni punto nel senso di Gateaux: se u è un
punto di
minimo di F su X allora dF(u)=0. Viceversa, se X è un
sottoinsieme
convesso di uno spazio di Banach E e dF(u)=0 allora u è un punto
di
minimo di F.
Esempio di problema con ostacolo: minimizzazione dell'energia di
Dirichlet con il vincolo che u sia maggiore di una funzione
fissata
u_0. Derivazione delle condizioni necessarie di minimalità.
Problema del primo autovalore del Laplaciano
(minimizzazione dell'energia di Dirichlet con vincola sulla
norma L^2):
ottenere l'equazione di EL senza usare il teorema dei
moltiplicatori di
Lagrange.
- Mer 20/03/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Calcolo delle variazioni interne per funzionali in
dimensione uno.
Relazione della condizione di equilibrio così ottenuta con
l'equazione
di Eulero-Lagrange, nel caso scalare e nel caso vettoriale. Caso
particolare: integrali autonomi. Calcolo delle variazioni
interne per
funzionali in dimensione qualunque. Esempio particolarmente
rilevante:
problema con discontinuità libera.
- Ven 22/03/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Impostazione astratta del teorema dei moltiplicatori di
Lagrange nel
caso di minimizzazione di un funzionale regolare con un vincolo
regolare e non degenere (senza dimostrazioni).
Problema delle geodetiche, intese come cammini di lunghezza
minima che
connettono due punti dati su una superficie. Minimizzazione
della
lunghezza versus minimizzazione dell'energia. Variazioni
definite da campi
tangenti e derivazione dell'equazione di EL per la
minimizzazione
dell'energia.
Superfici minime: minimizzazione dell'area delle superfici viste
come
insiemi (e non come parametrizzazioni), variazioni definite da
campi e
derivazione dell'equazione delle superfici minime.
- Mer 27/03/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Il metodo diretto nel Calcolo delle Variazioni: esistenza
del minimo
tramite teoremi di semicontinuità e compattezza. Impostazione
astratta:
un funzionale F semicontinuo inferiormente e coercivo su uno
spazio
metrico X ammette punti di minimo.
Esempio: esistenza dei cammini di lunghezza minima che
connettono due
punti assegnati in uno spazio metrico compatto (geodetiche).
Caratterizzazione della coercività in dimensione finita.
Caratterizzazione della coercività in spazi di Banach che sono
duali e
dotati della topologia debole* (tramite il teorema di
Banach-Alaoglu).
Caratterizzazione della convergenza debole e della coercività su
spazi
di Sobolev W^{1,p} con p>1. Esempio: esistenza del minimo per
l'energia di Dirichlet più un integrale di ordine zero f(x,u)
con
crescita quadratica.
- Ven 29/03/2019 11:00-13:00
(Giovanni Alberti). Lezione non tenuta per assenza del
docente,
impegnato in una missione
all'estero.
- Mer 03/04/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Esempio: esistenza del minimo dell'energia di Dirichlet più
un
integrale di ordine zero f(x,u), con f che tende a +infinito per
u che
tende a infinito, uniformemente in x (ma senza l'ipotesi di
crescita
quadratica).
Esempio: esistenza del minimo dell'energia di Dirichlet con dato
al
bordo fissato.
Esempio: esistenza (e non esistenza) del minimo dell'energia di
Dirichlet più integrale di gu con g funzione in L^2.
Norme equivalenti su spazi di Sobolev e disuguaglianza di
Poincaré
generalizzata (solo enunciati, la dimostrazione è rimandata alla
lezione successiva).
- Ven 05/04/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Dimostrazione della disuguaglianza di Poincaré generalizzata
enunciata
nella lezione precedente.
Teoremi di esistenza generali per funzionali con integranda
f(x,u,
nabla u), con u anche vettoriale. Opportune condizioni di
crescita
garantiscono la coercività. Nel caso f(nabla u), convessità e
semicontinuità inferiore della f danno la semicontinuità
inferiore
debole.
- Mer 10/04/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Nel caso scalare, la semicontinuità inferiore debole (su
spazi di
Sobolev) di un funzionale con integranda f(nabla u) implica la
semicontinuità inferiore e la convessità di f (dimostrazione
senza
condizioni al bordo e poi con condizioni al bordo). Osservare
che la
dimostrazione non si estende al caso vettoriale.
Lo stesso risultato vale per funzioni con integranda f(x,nabla
u)
(dimostrazione solo accennata).
Per funzionali con integranda f(x,u,nabla u), la convessità (e
semicontinuità) di f nelle variabili u e nabla u implica la
semicontinuità inferiore, ma la convessità in u non è
necessaria, solo
quella in nabla u.
- Ven 12/04/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Teorema di semicontinuità inferiore debole per funzionali su
spazi di
Sobolev con integranda f(x,u,nabla u) semicontinua inferiormente
in (u,
nabla u) e convessa in nabla u.
Questo è un caso particolare di un teorema di più generale sulla
semicontinuità debole-forte per funzionali G(u,v) con integranda
g(x,u,v) semicontinua inferiormente in (u,v) e convessa in v.
Dimostrazione "a mano" nel caso che g sia continua in (u,v)
uniformemente in tutte le variabili.
Esempi: esistenza del minimo in W^{1,p} con dato al bordo
fissato per
funzionali con integranda |nabla u|^p +g(x,u) con varie ipotesi
di
crescita su g. Analoghi risultati per il problema senza dato al
bordo
fissato. Esempi di non esistenza se vengono meno certe
condizioni di
crescita su g.
- Ven 03/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Introduzione alle misure di Young.
Motivazione di partenza: studio del comportamento di operatori
non-lineari rispetto alla convergenza debole (esempio: se u_n
converge
debole a u in L^p, come identificare il limite di g(u_n) con g
funzione non lineare).
Le misure di Young come mappe (Boreliane) da uno spazio Omega a
valori
nelle misure di probabilità su uno spazio K. Teorema
fondamentale delle
misure di Young generate da successioni di mappe da Omega a K,
con K
spazio metrico compatto: enunciato e inizio della dimostrazione.
- Mer 08/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Conclusione della dimostrazione del teorema fondamentale
delle misure
di Young. Misure di Young generate da successioni di mappe a
valore in
uno spazio localmente compatto, esempi di misure di Young
generate da
successioni di funzioni oscillanti.
Uso delle misure di Young per dimostrare la semicontinuità
inferiore
forte-debole dei funzionali G(u,v) con integranda g(x,u,v)
semicontinua
in (u,v) e convessa in v per successioni di funzioni
equi-limitate.
Dimostrazione della semicontinuità inferiore debole su
W^{1,infinito}
dei funzionali F(u) con integranda f(x,u,nabla u).
- Gio 09/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Postille all'ultima lezione: cenni della dimostrazione della
semicontinuità inferiore forte-debole in L^p per L^q di G(u,v)
con
integranda g(x,u,v) convessa in v e della semicontinuità debole
in
W^{1,p} per funzionali F(u) con integranda f(x,u,nabla u)
convessa in
nabla u.
Ripasso delle condizioni necessarie e sufficienti per la
semicontinuità
debole su W^{1,p} di funzionali F(u) con integranda f(nabla u)
(trascurando la dipendenza da x e u). Nel caso vettoriale la
convessità di f implica la semicontinuità di F che implica la
convessità di rango-uno di f (definita per l'occasione).
Definizione di poli-convessità. La poli-convessità di f implica
la
semicontinuità inferiore di F, con dimostrazione basata sulla
continuità del operatore Jacobiano (determinante del gradiente).
Esempi di funzioni poli-convesse ma non convesse.
- Ven 10/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Riformulazione della convessità di una funzione f (su uno
spazio
euclideo) in termini della disuguaglianza di Jensen.
Definizione di quasi-convessità. La quasi-convessità di f
implica la
semicontinuità debole di F(u) su W^{1,infinito} e viceversa.
Dimostrazione del viceversa (la dimostrazione del risultato
principale
è rimandata alla lezione successiva).
Dimostrazione di alcune proprietà di base: la poli-convessità
implica la
quasi-convessità (dimostrata facendo vedere che gli integrali
degli
Jacobiani dipendono solo dai dati al bordo--cioè sono
Lagrangiane
nulle) e la quasi-convessità implica la convessità di rango uno.
- Mer 15/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Dimostrazione del fatto che la quasi-convessità
dell'integranda implica
la semicontinuità inferiore debole del funzionale (per
funzionali con
integranda f(nabla u) su W^{1,infinito}).
Caso base: il dominio è una palla e la funzione limite è affine.
Caso generale: riduzione al caso precedente utilizzando il fatto
che
ogni funzione nello spazio di Sobolev W^{1,infinito} è
differenziabile
in quasi ogni punto.
Dimostrazione della differenziabilità quasi ovunque per funzioni
nella
spazio di Sobolev W^{1,p} con p maggiore di d, dimensione del
dominio
(dando per assodato il teorema di Lebesgue: ogni funzione in L^p
è
approssimativamente continua in senso L^p in quasi ogni punto).
- Gio 16/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
La semicontinuità inferiore debole per funzionali con
integranda
f(x, u, nabla u) quasi-convessa nell'ultima variabile può essere
dimostrata in modo simile al caso f(nabla u). Strumento utile:
misure
di Young gradienti (GYM). Lemma fondamentale sulla struttura
delle GYM
(solo enunciato).
Definizione di rilassato di una funzione F definita su un
sottoinsieme
X' di uno spazio metrico X (come inviluppo semicontinuo
inferiore,
Giovanni Alberti). Proprietà di base: le successioni
minimizzanti di F
convergono ai minimi del rilassato.
Osservazione: nello schema di risoluzione dei problemi
variazionali
tramite passaggio a spazi di Sobolev è fondamentale avere una
teoria
della regolarità o perlomeno sapere che il funzionale sugli
spazi di
Sobolev coincide con il rilassamento della restrizione alle
funzioni
regolari. Esempio base: rilassamento dell'energia di Dirichlet.
- Ven 17/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Calcolo del rilassato di funzioni definiti su spazi di
funzioni
regolari: energia di Dirichlet più termine di ordine inferiore
continuo, senza condizioni al bordo; energia di Dirichlet con
condizioni al bordo di Dirichlet / con condizioni al bordo
sovra-determinate (Dirichlet + Neumann) / con condizioni al
bordo più
valore prescritto in un punto interno del dominio. Dimostrazione
del
fatto che un punto ha 2-capacità nulla in ogni dimensione.
- Mer 22/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Definizione di p-capacità di un insieme. Proprietà
fondamentali della
p-capacità. Collegamento con la dimensione di Hausdorff.
Collegamento
con la nozione di capacità in elettrostatica.
Fenomeno di Lavrentiev: un funzionale debolmente semicontinuo su
uno
spazio di Sobolev può non coincidere con il rilassamento della
sua
restrizione alle funzioni regolari. Esempio di Manià.
- Gio 23/05/2019 18:00-20:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Ultimi dettagli sull'esempio di Manià. Esempio di fenomeno
di
Lavrentiev per funzionali del tipo integrale di |\nabla u|^p +
g(u) con
u vettoriale.
Variazione prima di funzionali su spazi di Sobolev in dimensione
1, e
formulazione debole dell'equazione di Eulero-Lagrange. Caso
modello:
integrale di |u'|^2 + g(x,u).
Regolarità W^{2,p} delle soluzioni deboli dell'equazione di E-L,
che
sono quindi soluzioni forti.
- Ven 24/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Formulazione debole dell'equazione di Eulero-Lagrange per
funzionali
sullo spazio di Sobolev H^1(Omega) con Omega aperto in
dimensione
qualunque. Caso modello: integrale di |\nabla u|^2 + g(x,u).
Risultato fondamentale: una funzione in L^2(R^d) con Laplaciano
in L^2
(nel senso delle distribuzioni) appartiene a W^{2,2}. Variante:
una
funzione in W^{1,2}(Omega) con Laplaciano in L^2 e condizioni di
Dirichlet al bordo appartiene a W^{2,2}.
(Il caso L^p è stato enunciato ma non dimostrato.) In
particolare le
soluzioni deboli di certe equazioni di E-L sono anche forti.
- Mar 28/05/2019 16:00-18:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Argomento avanzato dalla lezione precedente: una funzione in
w^{1,2}(Omega) con Laplaciano di in L^2 e condizioni al bordo di
Neumann appartiene in W^{2,2} (caso L^p enunciato ma non
dimostrato).
Definizione di Gamma-convergenza per successioni di funzioni su
uno
spazio metrico (funzionali su spazi di funzioni metrizzabili).
Proprietà fondamentali della Gamma-convergenza: convergenza dei
minimi,
stabilità per perturbazioni continue, etc. Esempi e
controesempi.
- Mer 29/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Funzionale di Ginzburg-Landau scalare (o anche di
Cahn-Hilliard-van der
Waals): significato e derivazione euristica del teorema di
Gamma-convergenza di Modica-Mortola.
Teoria lampo delle funzioni BV: definizione, proprietà
funzionali
(immersioni di Sobolev), teoremi di approssimazione. Definizione
di
insiemi di perimetro finito ed enunciato preciso del teorema di
Modica-Mortola.
- Gio 30/05/2019 17:30-19:30 (2 ore, Giovanni Alberti)
Teoria lampo degli insiemi di perimetro finito (soli
enunciati):
proprietà di compattezza e di approssimazione; frontiera
essenziale e
teorema di struttura di De Giorgi-Federer.
Dimostrazione del teorema di Modica-Mortola enunciato nella
lezione
precedente.
- Ven 31/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
Riordinamento radiale di un insieme e riordinamento radiale
(decrescente) di una funzione positiva su R^d.
Proprietà del riordinamento radiale di funzioni:
(i) il riordinamento di u conserva l'integrale di g(u) con g
funzione
positiva e semicontinua inferiormente, ed in particolare
conserva le
norme L^p.
(ii) il riordinamento di u, v decresce l'integrale di g(u-v) con
g
funzione convessa pari (più altre proprietà); in particolare il
riordinamento è una mappa 1-Lipschitz di L^p in sé.
(iii) il riordinamento di u decresce l'integrale di g(u, |\nabla
u|)
con g continua e convessa nella seconda variabile; in
particolare
decresce la norma di Sobolev W^{1,p}.
Applicazioni (solo accennate): calcolo della costante ottimale
nella
disuguaglianza di Sobolev; a parità di volume la palla minimizza
il
primo autovalore del Laplaciano (con condizioni di Dirichlet al
bordo).
- Lun 03/06/2019 14:00-16:30 (3 ore, Aldo Pratelli)
Il problema isoperimetrico I: introduzione, notazioni ed
insiemi di
perimetro finito, esistenza di insiemi isoperimetrici,
simmetrizzazione
rispetto ad un iperpiano.
- Mar 04/06/2019 14:00-16:30 (3 ore, Aldo Pratelli)
Il problema isoperimetrico II: simmetrizzazione di Steiner;
versione
quantitativa della disuguaglianza di Steiner; convessità degli
insiemi
isoperimetrici.
- Mer 05/06/2019 14:00-16:30 (3 ore, Aldo Pratelli)
Il problema isoperimetrico III: un isoperimetrico
centro-simmetrico è
necessariamente una palla; un isoperimetrico è necessariamente
una
palla.
Il problema isoperimetrico per cluster I: definizioni e
discussione
preliminare del problema. Limitatezza di un cluster minimale.
- Gio 06/06/2019 14:00-16:15 (2 ore, Aldo Pratelli)
Il problema isoperimetrico per cluster II: definizione di
vettori
irriducibili; esistenza di cluster minimali per volumi
irriducibili;
suddivisione di un volume generico in volumi irriducibili;
esistenza
generale di cluster minimali.