Calcolo delle Variazioni A, a.a. 2018-19

Lista di seminari per l'esame finale



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Questa è una lista di possibili seminari per l'esame del corso di Calcolo delle Variazioni A (ricordo che l'esame è composta da un seminario e da un orale sugli argomenti principali del corso.

Attenzione:

1. La disuguaglianza di Borell-Brascamp-Lieb e applicazioni (assegnato a Mattia Magnabosco)

Si parte dalla disuguaglianza di Borell-Brascamp-Lieb, di cui la disuguaglianza di Prekopa-Leindler è un caso particolare, per ottenere la disuguaglianza di Brunn-Minkowski e quindi la disuguaglianza isoperimetrica (in dimensione qualunque). Referenze:


2a. La disuguaglianza isoperimetrica quantitativa nel piano (assegnato a Ginevra Biondi)

Usando la serie di Fourier è possibile dimostrare la disuguaglianza isoperimetrica per insiemi nel piano il cui bordo è parametrizzato da un cammino semplice, vale a dire

L^2 \ge 4 pigreco A

dove A è l'area dell'insieme e L la lunghezza del bordo. (Fornisco io una traccia da completare.) Adattando questa dimostrazione si può ottenere anche la disuguaglianza isoperimetrica "quantitativa", che stima quanto una figura piana dista da un cerchio sulla base della differenza L^2 - 4 pigreco A (il cosidetto difetto isoperimetrico).

2b.* La disuguaglianza isoperimetrica quantitativa in dimensione qualunque

Si tratta di esporre la dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica quantitativa per insiemi in R^n presentata nel lavoro:

3.* Un esempio di superfice minima singolare: il cono di Simons

Il cono di Simons è la superfice S in R^8 di equazione |x|=|y|, dove i punti di R^8 sono indicati con (x,y) con x, y in R^4. Questo cono è il primo e più noto esempio di ipersuperfice minima singolare; infatti la superfice S, come tutti i coni, è singolare nell'origine, ed è minima nel senso che ogni perturbazione a supporto compatto ne aumenta il volume (per contrasto, le ipersuperifici minime in dimensione inferiore a 8 sono tutte regolari, anzi analitiche).
Una dimostrazione relativamente semplice della minimalità di S è stata data nel lavoro

4. Teoremi di continuità e semicontinuità di Reshetnyak (assegnato a Nicola Picenni)

Si tratta di dimostrare i teoremi di semicontinuità / di continuità di opportuni funzionali integrali sullo spazio delle misure (vettoriali) dotato della convergenza debole*, come duale dello spazio delle funzioni continue / della convergenza in misura (che può essere vista come un sostituto della convergenza forte nello spazio delle misure). Questi risultati sono dimostrati nel libro

5a. Il teorema di struttura delle misure di Young gradienti (assegnato a Martino Fortuna)

Le misure di Young generate da successioni di gradienti (di mappe da un aperto di R^n in R^m equilimitate in W^{1,infinito}) hanno una struttura molto precisa: per quasi ogni punto appartengono alle misure di probabilità sulle matrici n x m date dalla chiusura (nel senso delle misure) delle distribuzioni di probabilità associate ai gradienti di mappe Lipschitz dalla palla di R^n in R^m con dato al bordo affine.
Utilizzando questo risultato si ottiene facilmente la dimostrazione del fatto che la semicontinuità debole* in W^{1,infinito} per funzionali integrali con integranda f(x,\nabla u) corrisponde alla quasiconvessità di f nel gradiente.
Possa dare io una traccia della dimostrazione da completare, oppure si veda:

5b. Il teorema di semicontinuità di Acerbi-Fusco

Si tratta di estendere al caso W^{1,p} il teorema di semicontinuità per funzionali quasiconvessi visto a lezione nel caso p=infinito. Referenze:

6a. Il teorema di Lichtenstein (assegnato a Giacomo Leccese)

Ogni superficie di Riemann S di dimensione 2 diffeomorfa al disco ammette una parametrizzazione conforme, vale a dire una parametrizzazione dal disco in S il cui differenziale (inteso come applicazione lineare) è conforme, offero conserva gli angoli, in tutti i punti. Tale soluzione può essere ottenuta come soluzione di un opportuno problema di minimo.
Fornisco io una traccia da completare.


6b. Soluzione del problema di Plateau secondo Douglas e Radó (assegnato a Davide Carazzato)

Usando il teorema di Lichtenstein è possibile dimostrare che la minimizzazione del funzionale area (per la mappe dal disco in R^n, vale a dire l'area contata con molteplicità dell'immagine della mappa) corrisponde alla minimizzazione dell'energia di Dirichlet, in analogia con il fatto che le geodetiche possono essere ottenute minimizzando il funzionale azione oltre che minimizzando la lunghezza.
Fornisco io una traccia da completare.


7. Il controesempio di Šverák (assegnato a Mario Restrelli)

Vladimir Šverák ha dimostrato che la convessità di rango uno non implica la quasiconvessità esibendo quasi esplicitamente una funzione convessa di rango uno non quasiconvessa.
Usando questa costruzione è possibile ottenere diversi risultati non banali sulla quasiconvessità; il seminario ne dovrebbe prevedere almeno uno tra i seguenti:


8. Versione "multi-fase" del teorema di Modica-Mortola

Il teorema di Modica-Mortola sulla Gamma-convergenza dei funzionali di Ginzburg-Landau scalari (o funzionali di Cahn-Hilliard-van der Waals) ammette un interessante estensione al caso di fluidi con più di due fasi. Si tratta di dimostrare questo risultato seguendo per esempio il lavoro originale:
Oppure cercando referenze più recenti (dovrebbero esserci).


9. Costante ottimale nella disuguaglianza di Sobolev (assegnato a Viviana Grasselli)

La costante ottimale della disuguaglianza di Sobolev in R^d è determinata da un semplice problema di minimo, e utilizzando i risultati di simmetrizzazione visti a lezione si dimostra che il minimo esiste e viene assunto tra le funzioni radiali, e può essere calcolato esplicitamente (il punto delicato è l'esistenza). Nel caso di domini diversi da R^d, invece, tale minimo non esiste. Ci sono probabilmente diverse dimostrazioni di questo risultato (almeno della prima parte), tra cui quelle originali di Talenti e Aubin:


10a.* La disuguaglianza di Korn

Data una mappa u da un aperto di R^d in R^d, indichiamo con Eu la parte simmetrica della derivata, vale a dire la semisomma della matrice \nabla u e della sua trasposta.
La disuguaglianza di Korn dice che, sotto opportune ipotesi, una mappa u con derivata simmetrica Eu in L^p per 1<p<infinito appartiene allo spazio di Sobolev W^{1,p}.
La dimostrazione per p=2 è elementare, quella per p qualunque richiede qualche conoscenza di Analisi Armonica di base. Referenze da cercare...

10b.* Non validità della disuguaglianza di Korn per p=1.

S. Conti, D. Faraco, F. Maggi: "A new approach to counterexamples to L^1 estimates: Korn's inequality, geometric rigidity, and...". Arch. Ration. Mech. Anal. 175 (2005), 287-300.


11.* Flusso gradiente

Dato una funzione V definito su R^d, il "flusso gradiente" associato è l'equazione differenziale

x'= -\nabla V(x)

Lo stesso concetto può essere esteso al caso in cui V è definito su uno spazio di funzioni invece che su R^d. Un'esempio significativo è l'equazione del calore, che può essere vista come flusso gradiente del funzionale di Dirichlet.
Il seminario riguarda la costruzione del flusso gradiente in ambito astratto tramite una procedura di  discretizzazione temporale e la soluzione di una successione di problemi di minimo, la dimostrazione dell'unicità nel caso in cui V è una funzione convessa (ma non necessariamente derivabile) su R^d, e la coincidenza con la soluzione classica (se quest'ultima esiste).
Referenze da cercare...


12.* Il principio di concentrazione-compattezza

Si tratta di esporre i risultati nel lavoro di P.L. Lions sotto. Probabilmente va concordata una selezione del materiale proposto, e l'argomento potrebbe (dovrebbe) essere diviso tra più studenti.

13.* Formulazione di Kantorovich del problema di trasporto ottimo e teorema di Brenier

Il problema del trasporto ottimo ammette una formulazione classica e una formulazione rilassata dovuta a Kantorovich. L'esistenza della mappa di trasporto ottimo per il costo quadratico è stata dimostrata da Y. Brenier. Una referenza relativamente elementare è:
Anche questo argomento è molto ampio e va opportunamente delimitato (e se possibile diviso tra più studenti).


14. Il teorema di compattezza per SBV di L. Ambrosio
(assegnato a Massimo Sorella)

Lo spazio delle funzioni SBV ed il teorema di compattezza di L. Ambrosio sono stati molto usati negli ultimi trent'anni per dimostrare teoremi di esistenza per problemi variazionali motivati dalla meccanica dei continui e dalla teoria della ricostruzione di immagine.
Si chiede di dimostrare questo teorema in dimensione qualunque (non necessariamente nella formulazione più generale possibile), includendo la dimostrazione nel caso 1-dimensionale, che è nettamente più semplice.