L'oggetto di questo seminario sono due teoremi di Reshetnyak: il primo riguarda la semicontinuità di certi funzionali integrali sullo spazio delle misure (vettoriali) rispetto della convergenza debole* (indotta dalla dualità delle misure con lo spazio delle funzioni continue); il secondo riguarda la continuità di funzionali dello stesso tipo rispetto alla convergenza in misura (che può essere vista come un sostituto della convergenza forte nello spazio delle misure).
Questi risultati sono dimostrati in

• L. Ambrosio + N. Fusco + D. Pallara: "Functions of Bounded Variation and free discontinuity problems", Oxford University Press, 2000.

Usando la serie di Fourier è possibile dimostrare la disuguaglianza isoperimetrica per insiemi nel piano il cui bordo è parametrizzato da un cammino semplice, vale a dire


dove A è l'area dell'insieme e L la lunghezza del bordo.
Adattando questa dimostrazione si può ottenere anche la disuguaglianza isoperimetrica "quantitativa", che stima quanto una figura piana dista da un cerchio sulla base della differenza L^2 - 4 pigreco A (il cosiddetto difetto isoperimetrico).

Usando il teorema di Lichtenstein (vedere sotto) è possibile dimostrare che la minimizzazione del funzionale area per la mappe dal disco in R^n (vale a dire l'area dell'immagine della mappa contando la molteplicità) corrisponde alla minimizzazione dell'energia di Dirichlet. Questo risultato è analogo al fatto che le geodetiche in una varietà Riemanniana possono essere ottenute minimizzando il funzionale azione invece che la lunghezza.

La costante ottimale della disuguaglianza di Sobolev in R^d è determinata da un semplice problema di minimo, e utilizzando i risultati di simmetrizzazione visti a lezione si dimostra che il minimo viene assunto tra le funzioni radiali e può essere calcolato esplicitamente (il punto delicato è la dimostrazione dell'esistenza). Nel caso di domini diversi da R^d, invece, tale minimo non esiste.
Questi risultati sono stati originariamente dimostrati in

• G. Talenti: "Best constant in Sobolev inequality", Ann. Mat. Pura Appl. 110 (1976), 353-372;
• T. Aubin: "Problèmes isopérimétriques et espaces de Sobolev", J. Differential Geometry 11 (1976), 573-598.

Ogni superficie di Riemann S di dimensione 2 diffeomorfa al disco ammette una parametrizzazione conforme, vale a dire una parametrizzazione dal disco in S il cui differenziale in un punto arbitrario (inteso come applicazione lineare) è conforme, ovvero conserva gli angoli. Tale parametrizzazione può essere ottenuta minimizzando l'energia di Dirichlet (opportunamente definita) tra tutte le mappe dal disco in sè che soddisfano un'opportuna condizione al bordo.

Lo spazio delle funzioni SBV ed il teorema di compattezza di L. Ambrosio sono stati molto usati negli ultimi trent'anni per dimostrare teoremi di esistenza per problemi variazionali motivati dalla meccanica dei continui e dalla teoria della ricostruzione di immagine.
In questo seminario si dimostra il teorema di Ambrosio in dimensione qualunque (non necessariamente nella formulazione più generale possibile) confrontando la dimostrazione con quella, nettamente più semplice, in dimensione 1. Referenze:

• L. Ambrosio + N. Fusco + D. Pallara: "Functions of Bounded Variation and free discontinuity problems", Oxford University Press, 2000;
• G. Alberti + C. Mantegazza: "A Note on the Theory of SBV Functions", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana Sezione B (7), 11 (1997), 375-382.

Partendo dalla disuguaglianza di Borell-Brascamp-Lieb, di cui la disuguaglianza di Prekopa-Leindler è un caso particolare, si ottiene la disuguaglianza di Brunn-Minkowski e quindi la disuguaglianza isoperimetrica (in dimensione qualunque). In questo seminario si dimostrare la disuguaglianza di Prekopa-Leindler partendo da risultati sul trasporto ottimo.
Referenze generali sull'argomento sono:

• H.J. Brascamp + E.H. Lieb: "On extensions of the Brunn-Minkowski and Prékopa-Leindler theorems...", J. Functional Analysis, 22 (1976), 366-389;
• M. Gardner: "The Brunn-Minkowski inequality", Bull. Amer. Math. Soc., 39 (2002), 355-405.

Le misure di Young generate da successioni di gradienti (di mappe da un aperto di R^n in R^m equilimitate in W^{1,infinito}) hanno una struttura molto precisa: per quasi ogni punto appartengono alle misure di probabilità sulle matrici n x m date dalla chiusura (nel senso delle misure) delle distribuzioni di probabilità associate ai gradienti di mappe Lipschitz dalla palla di R^n in R^m con dato al bordo affine.
Utilizzando questo risultato si ottiene (facilmente) la dimostrazione della semicontinuità debole in W^{1,infinito} per funzionali integrali con integranda f(x,\nabla u) con f  quasiconvessa nella seconda variabile.
Una dimostrazione del teorema di struttura si trova in:

• F. Rindler: "Calculus of variations", Universitext. Springer International, 2018.

Vladimir Šverák ha dimostrato che la convessità di rango uno non implica la quasiconvessità esibendo quasi esplicitamente una funzione che è convessa di rango uno ma non quasiconvessa:

• V. Šverák: "Rank-one convexity does not imply quasiconvexity", Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 120 (1992), 185-189.

Usando questa costruzione è possibile ottenere diversi risultati non banali sulla quasiconvessità; nel seminario, oltre al risultato di Šverák , verranno descritti i seguenti:

• J. Kristensen: "On the non-locality of quasiconvexity", Ann. Inst. H. Poincaré 16 (1999), 1-13;
• S. Müller: "Quasiconvexity is not invariant under transposition", Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 130 (2000), 389-395.

La minimizzazione del funzionale di Willmore per (la frontiera di) un dominio nel piano (noto anche come funzionale  delle curve elastiche) è particolarmente delicata per la mancanza di un setting "naturale", dove cioè il funzionale sia semicontinuo e coercivo.
In questo seminario verrà discusso l'approccio per rilassamento sviluppato in

• G. Bellettini + G. Dal Maso + M. Paolini: "Semicontinuity and relaxation properties of a curvature depending functional in 2D", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 20 (1993), 247-299;
• G. Bellettini + L. Mugnai: Characterization and representation of the lower semicontinuous envelope of the elastica functional", Ann. Inst. H. Poincaré Anal. non Linéaire, 21 (2004), 839-880.

In questo seminario si estende al caso W^{1,p} il teorema di semicontinuità per funzionali quasiconvessi visto a lezione nel caso p=infinito. Referenze:

• F. Rindler: "Calculus of variations", Universitext. Springer International, 2018.
• B. Dacorogna: "Introduction to the calculus of variations", Imperial College Press, London, 2004.

Il problema del trasporto ottimo ammette una formulazione classica e una formulazione rilassata dovuta a Kantorovich. L'esistenza di una soluzione del problema di Kantorovich (cioè di un piano di trasporto ottimale) è relativamente semplice, mentre l'esistenza di una soluzione per il problema classico (cioè di una mappa di trasporto ottimale) è stata dimostrata da Y. Brenier per il costo quadratico.
Referenza:

• F. Santambrogio: "Optimal transport for applied mathematicians", Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 87, Birkhäuser Boston, 2015.

Data una mappa u da un aperto di R^d in R^d, indichiamo con Eu la parte simmetrica della derivata, vale a dire la semisomma della matrice gradiente di u e della sua trasposta. La disuguaglianza di Korn dice che, sotto opportune ipotesi, una mappa con derivata simmetrica Eu in L^p per qualche 1<p<infinito appartiene allo spazio di Sobolev W^{1,p}.
La dimostrazione per p=2 è elementare, ma in generale si basa su un lemma di analisi armonica.
In questo seminario viene descritta la dimostrazione per p qualunque in (1,+\infinito) e poi un esempio che mostra che la disuguaglianza di Korn non vale per p=1:

• S. Conti + D. Faraco + F. Maggi: "A new approach to counterexamples to L^1 estimates: Korn's inequality, geometric rigidity, and...", Arch. Ration. Mech. Anal. 175 (2005), 287-300.

In questo seminario viene esposto il principio di concentrazione-compattezza di P.L. Lions ed una sua applicazione ad un problema variazionale concreto. Referenze:

• P.-L. Lions: "The concentration-compactness principle in the calculus of variations I & II", Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 1 (1984), 109-145 & 223-283;
• L.C. Evans: "Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations", CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 74.

Il teorema di Modica-Mortola sulla Gamma-convergenza dei funzionali di Ginzburg-Landau scalari (o funzionali di Cahn-Hilliard-van der Waals) ammette un'interessante estensione al caso di fluidi con più di due fasi. Referenza:

• S. Baldo: "Minimal interface criterion for phase transitions in mixtures of Cahn-Hilliard fluids", Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 7 (1990), 67-90.

In questo seminario si dimostra l'esistenza di ipersuperfici minime con bordo assegnato utilizzando la teoria degli insiemi di perimetro finito. Viene inoltre dimostrata la minimalità del cono di Simons, vale a dire la superfice S in R^8 di equazione |x|=|y|, dove i punti di R^8 sono indicati con (x,y) con x, y in R^4. Questo cono è il primo e più noto esempio di ipersuperficie minima singolare; la dimostrazione della minimalità segue:

• G. De Philippis + E. Paolini: "A short proof of the minimality of Simons cone", Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, 121 (2009), 233-241.

Si tratta di esporre la dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica quantitativa per insiemi in R^n presentata nel lavoro:

• M. Cicalese + G. Leonardi: "Best constants for the isoperimetric inequality in quantitative form", J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 15 (2013), 1101-1129.

Dato un potenziale V su R^d (cioè una funzione a valori reali) il "flusso gradiente" associato è l'equazione differenziale x'= -\nabla V(x).
Questo concetto può essere esteso al caso in cui V è definito su uno spazio di funzioni; un esempio significativo è l'equazione del calore, che può essere vista come flusso gradiente del funzionale di Dirichlet.
Il seminario riguarda la costruzione del flusso gradiente in ambito astratto tramite una procedura di  discretizzazione temporale e la soluzione di una successione di problemi di minimo, la dimostrazione dell'unicità nel caso in cui V è una funzione convessa (ma non necessariamente derivabile) su R^d, e la coincidenza con la soluzione classica (se quest'ultima esiste).