Dati registro

insegnamento: Calcolo delle Variazioni A
codice: 096AA
corso di studi: Matematica (WMA-LM)
anno accademico: 2018-2019
responsabile: Giovanni Alberti
docenti: Giovanni Alberti, Aldo Pratelli
totale ore: 60 (GA: 49 ore,  AP: 11 ore)

Lezioni
  1. Lun 25/02/2019 18:00-19:00 (1 ora, Giovanni Alberti)
    Lezione introduttiva del corso.
    Programma del corso per sommi capi: calcolo della variazione prima di un funzionale e dell'equazione di Eulero-Lagrange (assumendo la regolarità necessaria); teoremi di esistenza per semicontinuità e compattezza (metodo diretto del calcolo delle variazioni); condizioni necessarie e sufficienti per la semicontinuità debole; rilassamento; equazione di Eulero-Lagrange e regolarità di base delle soluzioni; disuguaglianza isoperimetrica e simmetrizzazione; approccio alla Douglas-Radò al problema delle superfici minimi di dimensione due; due esempi di Gamma-convergenza: omogeneizzazione e teorema di Modica-Mortola.
    Modalità d'esame. Mailing list del corso. Scelta dell'orario.
    Il corso sarà tenuto in inglese.
  2. Mer 06/03/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    In queste prime lezioni si assume che tutte le funzioni siano derivabili quanto necessario per svolgere i calcoli che seguono.
    Definizione (astratta) di variazione prima di un funzionale F definito su uno spazio vettoriale di funzioni come derivata direzionale di F in u nella direzione v. Se u è un minimo di F allora la variazione prima di F in u si annulla per ogni v ammissibile (equazione di Eulero-Lagrange in forma debole), e vale il viceversa se F è convesso.
    Calcolo della variazione prima e dell'equazione di E-L in un caso semplice: F(u) = integrale di |nabla u|^2 + f(x,u). (Si usa il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, enunciato in forma generale, e un'opportuna variante del teorema della divergenza.)
    Condizioni al bordo di Dirichlet verso condizioni di Neumann.
  3. Ven 08/03/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Calcolo della variazione prima e dell'equazione di E-L per un funzionale F di forma generale.
    F(u) = integrale_a^b f(x,u,u'), con e senza condizioni di Dirichlet al bordo, prima nel caso di u scalare su [a,b]e poi nel caso di u vettoriale.
    F(u) = int_Omega f(x,u,nabla u) nel caso di u scalare su Omega.
    F(u) = int_Omega f(nabla u) nel caso di u vettoriale su Omega.
    Esempio di problema mal posto: minimo di F(u) con u definito su [a,b], avendo prescritto sia il valore della funzione u che della derivata al bordo. Lista di esercizi lasciati per casa, con commento.
  4. Mer 13/03/2019 11:00-13:00 (Giovanni Alberti). Lezione non tenuta per sovrapposizione con una riunione di una commissione di concorso di cui fa parte il docente.
  5. Ven 15/03/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Impostazione astratta dell'equazione di Eulero-Lagrange: X è una varietà di Banach (senza bordo) ed F è una funzione reale su X differenziabile in ogni punto nel senso di Gateaux: se u è un punto di minimo di F su X allora dF(u)=0. Viceversa, se X è un sottoinsieme convesso di uno spazio di Banach E e dF(u)=0 allora u è un punto di minimo di F.
    Esempio di problema con ostacolo: minimizzazione dell'energia di Dirichlet con il vincolo che u sia maggiore di una funzione fissata u_0. Derivazione delle condizioni necessarie di minimalità.
    Problema del primo autovalore del Laplaciano (minimizzazione dell'energia di Dirichlet con vincola sulla norma L^2): ottenere l'equazione di EL senza usare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
  6. Mer 20/03/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Calcolo delle variazioni interne per funzionali in dimensione uno. Relazione della condizione di equilibrio così ottenuta con l'equazione di Eulero-Lagrange, nel caso scalare e nel caso vettoriale. Caso particolare: integrali autonomi. Calcolo delle variazioni interne per funzionali in dimensione qualunque. Esempio particolarmente rilevante: problema con discontinuità libera.
  7. Ven 22/03/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Impostazione astratta del teorema dei moltiplicatori di Lagrange nel caso di minimizzazione di un funzionale regolare con un vincolo regolare e non degenere (senza dimostrazioni).
    Problema delle geodetiche, intese come cammini di lunghezza minima che connettono due punti dati su una superficie. Minimizzazione della lunghezza vs minimizzazione dell'energia. Variazioni definite da campi tangenti e derivazione dell'equazione di EL per la minimizzazione dell'energia.
    Superfici minime: minimizzazione dell'area delle superfici viste come insiemi (e non come parametrizzazioni), variazioni definite da campi e derivazione dell'equazione delle superfici minime.
  8. Mer 27/03/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Il metodo diretto nel Calcolo delle Variazioni: esistenza del minimo tramite teoremi di semicontinuità e compattezza. Impostazione astratta: un funzionale F semicontinuo inferiormente e coercivo su uno spazio metrico X ammette punti di minimo.
    Esempio: esistenza dei cammini di lunghezza minima che connettono due punti assegnati in uno spazio metrico compatto (geodetiche).
    Caratterizzazione della coercività in dimensione finita. Caratterizzazione della coercività in spazi di Banach che sono duali e dotati della topologia debole* (tramite il teorema di Banach-Alaoglu).
    Caratterizzazione della convergenza debole e della coercività su spazi di Sobolev W^{1,p} con p>1. Esempio: esistenza del minimo per l'energia di Dirichlet più un integrale di ordine zero f(x,u) con crescita quadratica.
  9. Ven 29/03/2019 11:00-13:00 (Giovanni Alberti). Lezione non tenuta per assenza del docente, impegnato in una missione all'estero.
  10. Mer 03/04/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Esempio: esistenza del minimo dell'energia di Dirichlet più un integrale di ordine zero f(x,u), con f che tende a +infinito per u che tende a infinito, uniformemente in x (ma senza l'ipotesi di crescita quadratica).
    Esempio: esistenza del minimo dell'energia di Dirichlet con dato al bordo fissato.
    Esempio: esistenza (e non esistenza) del minimo dell'energia di Dirichlet più integrale di gu con g funzione in L^2.
    Norme equivalenti su spazi di Sobolev e disuguaglianza di Poincaré generalizzata (solo enunciati, la dimostrazione è rimandata alla lezione successiva).
  11. Ven 05/04/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Dimostrazione della disuguaglianza di Poincaré generalizzata enunciata nella lezione precedente.
    Teoremi di esistenza generali per funzionali con integranda f(x,u, nabla u), con u anche vettoriale. Opportune condizioni di crescita garantiscono la coercività. Nel caso f(nabla u), convessità e semicontinuità inferiore della f danno la semicontinuità inferiore debole.
  12. Mer 10/04/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Nel caso scalare, la semicontinuità inferiore debole (su spazi di Sobolev) di un funzionale con integranda f(nabla u) implica la semicontinuità inferiore e la convessità di f (dimostrazione senza condizioni al bordo e poi con condizioni al bordo). Osservare che la dimostrazione non si estende al caso vettoriale.
    Lo stesso risultato vale per funzioni con integranda f(x,nabla u) (dimostrazione solo accennata).
    Per funzionali con integranda f(x,u,nabla u), la convessità (e semicontinuità) di f nelle variabili u e nabla u implica la semicontinuità inferiore, ma la convessità in u non è necessaria, solo quella in nabla u.
  13. Ven 12/04/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Teorema di semicontinuità inferiore debole per funzionali su spazi di Sobolev con integranda f(x,u,nabla u) semicontinua inferiormente in (u, nabla u) e convessa in nabla u. Questo è un caso particolare di un teorema di più generale sulla semicontinuità debole-forte per funzionali G(u,v) con integranda g(x,u,v) semicontinua inferiormente in (u,v) e convessa in v. Dimostrazione "a mano" nel caso che g sia continua in (u,v) uniformemente in tutte le variabili.
    Esempi: esistenza del minimo in W^{1,p} con dato al bordo fissato per funzionali con integranda |nabla u|^p +g(x,u) con varie ipotesi di crescita su g. Analoghi risultati per il problema senza dato al bordo fissato. Esempi di non esistenza se vengono meno certe condizioni di crescita su g.
  14. Ven 03/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Introduzione alle misure di Young. Motivazione di partenza: studio del comportamento di operatori non-lineari rispetto alla convergenza debole (esempio: se u_n converge debole a u in L^p, come identificare il limite di g(u_n) con g funzione non lineare).
    Le misure di Young come mappe (Boreliane) da uno spazio Omega a valori nelle misure di probabilità su uno spazio K. Teorema fondamentale delle misure di Young generate da successioni di mappe da Omega a K, con K spazio metrico compatto: enunciato e inizio della dimostrazione.
  15. Mer 08/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Conclusione della dimostrazione del teorema fondamentale delle misure di Young. Misure di Young generate da successioni di mappe a valore in uno spazio localmente compatto, esempi di misure di Young generate da successioni di funzioni oscillanti.
    Uso delle misure di Young per dimostrare la semicontinuità inferiore forte-debole dei funzionali G(u,v) con integranda g(x,u,v) semicontinua in (u,v) e convessa in v per successioni di funzioni equilimitate. Dimostrazione della semicontinuità inferiore debole su W^{1,infinito} dei funzionali F(u) con integranda f(x,u,nabla u).
  16. Gio 09/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Postille all'ultima lezione: cenni della dimostrazione della semicontinuità inferiore forte-debole in L^p per L^q di G(u,v) con integranda g(x,u,v) convessa in v e della semicontinuità debole in W^{1,p} per funzionali F(u) con integranda f(x,u,nabla u) convessa in nabla u.
    Ripasso delle condizioni necessarie e sufficienti per la semicontinuità debole su W^{1,p} di funzionali F(u) con integranda f(nabla u) (trascurando la dipendenza da x e u). Nel caso vettoriale la convessità di f implica la semicontinuità di F che implica la convessità di rango-uno di f (definita per l'occasione).
    Definizione di policonvessità. La policonvessità di f implica la semicontinuità inferiore di F, con dimostrazione basata sulla continuità del operatore Jacobiano (determinante del gradiente). Esempi di funzioni policonvesse ma non convesse.
  17. Ven 10/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Riformulazione della convessità di una funzione f (su uno spazio euclideo) in termini della disuguaglianza di Jensen.
    Definizione di quasiconvessità. La quasiconvessità di f implica la semicontinuità debole di F(u) su W^{1,infinito} e viceversa. Dimostrazione del viceversa (la dimostrazione del risultato principale è rimandata alla lezione successiva).
    Dimostrazione di alcune proprietà di base: la policonvessità implica la quasiconvessità (dimostrata facendo vedere che gli integrali degli Jacobiani dipendono solo dai dati al bordo--cioè sono Lagrangiane nulle) e la quasiconvessità implica la convessità di rango uno.
  18. Mer 15/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Dimostrazione del fatto che la quasiconvessità dell'integranda implica la semicontinuità inferiore debole del funzionale (per funzionali con integranda f(nabla u) su W^{1,infinito}).
    Caso base: il dominio è una palla e la funzione limite è affine. Caso generale: riduzione al caso precedente utilizzando il fatto che ogni funzione nello spazio di Sobolev W^{1,infinito} è differenziabile in quasi ogni punto.
    Dimostrazione della differenziabilità quasi ovunque per funzioni nella spazio di Sobolev W^{1,p} con p maggiore di d, dimensione del dominio (dando per assodato il teorema di Lebesgue: ogni funzione in L^p è approssimativamente continua in senso L^p in quasi ogni punto).
  19. Gio 16/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    La semicontinuità inferiore debole per funzionali con integranda f(x,u,nabla u) quasiconvessa nell'ultima variabile può essere dimostrata in modo simile al caso f(nabla u). Strumento utile: misure di Young gradienti (GYM). Lemma fondamentale sulla struttura delle GYM (solo enunciato).
    Definizione di rilassato di una funzione F definita su un sottoinsieme X' di uno spazio metrico X (come inviluppo semicontinuo inferiore, Giovanni Alberti). Proprietà di base: le successioni minimizzanti di F convergono ai minimi del rilassato.
    Osservazione: nello schema di risoluzione dei problemi variazionali tramite passaggio a spazi di Sobolev è fondamentale avere una teoria della regolarità o perlomeno sapere che il funzionale sugli spazi di Sobolev coincide con il rilassamento della restrizione alle funzioni regolari. Esempio base: rilassamento dell'energia di Dirichlet.
  20. Ven 17/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Calcolo del rilassato di funzioni definiti su spazi di funzioni regolari: energia di Dirichlet più termine di ordine inferiore continuo, senza condizioni al bordo; energia di Dirichlet con condizioni al bordo di Dirichlet / con condizioni al bordo sovra-determinate (Dirichlet + Neumann) / con condizioni al bordo più valore prescritto in un punto interno del dominio. Dimostrazione del fatto che un punto ha 2-capacità nulla in ogni dimensione.
  21. Mer 22/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Definizione di p-capacità di un insieme. Proprietà fondamentali della p-capacità. Collegamento con la dimensione di Hausdorff. Collegamento con la nozione di capacità in elettrostatica.
    Fenomeno di Lavrentiev: un funzionale debolmente semicontinuo su uno spazio di Sobolev può non coincidere con il rilassamento della sua restrizione alle funzioni regolari. Esempio di Manià.
  22. Gio 23/05/2019 18:00-20:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Ultimi dettagli sull'esempio di Manià. Esempio di fenomeno di Lavrentiev per funzionali del tipo integrale di |\nabla u|^p + g(u) con u vettoriale.
    Variazione prima di funzionali su spazi di Sobolev in dimensione 1, e formulazione debole dell'equazione di Eulero-Lagrange. Caso modello: integrale di |u'|^2 + g(x,u).
    Regolarità W^{2,p} delle soluzioni deboli dell'equazione di E-L, che sono quindi soluzioni forti.
  23. Ven 24/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Formulazione debole dell'equazione di Eulero-Lagrange per funzionali sullo spazio di Sobolev H^1(Omega) con Omega aperto in dimensione qualunque. Caso modello: integrale di |\nabla u|^2 + g(x,u).
    Risultato fondamentale: una funzione in L^2(R^d) con Laplaciano in L^2 (nel senso delle distribuzioni) appartiene a W^{2,2}. Variante: una funzione in W^{1,2}(Omega) con Laplaciano in L^2 e condizioni di Dirichlet al bordo appartiene a W^{2,2}. (Il caso L^p è stato enunciato ma non dimostrato.) In particolare le soluzioni deboli di certe equazioni di E-L sono anche forti.
  24. Mar 28/05/2019 16:00-18:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Argomento avanzato dalla lezione precedente: una funzione in w^{1,2}(Omega) con Laplaciano di in L^2 e condizioni al bordo di Neumann appartiene in W^{2,2} (caso L^p enunciato ma non dimostrato).
    Definizione di Gamma-convergenza per successioni di funzioni su uno spazio metrico (funzionali su spazi di funzioni metrizzabili). Proprietà fondamentali della Gamma-convergenza: convergenza dei minimi, stabilità per perturbazioni continue, etc. Esempi e controesempi.
  25. Mer 29/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Funzionale di Ginzburg-Landau scalare (o anche di Cahn-Hilliard-van der Waals): significato e derivazione euristica del teorema di Gamma-convergenza di Modica-Mortola.
    Teoria lampo delle funzioni BV: definizione, proprietà funzionali (immersioni di Sobolev), teoremi di approssimazione. Definizione di insiemi di perimetro finito ed enunciato preciso del teorema di Modica-Mortola.
  26. Gio 30/05/2019 17:30-19:30 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Teoria lampo degli insiemi di perimetro finito (soli enunciati): proprietà di compattezza e di approssimazione; frontiera essenziale e teorema di struttura di De Giorgi-Federer.
    Dimostrazione del teorema di Modica-Mortola enunciato nella lezione precedente.
  27. Ven 31/05/2019 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti)
    Riordinamento radiale di un insieme e riordinamento radiale (decrescente) di una funzione positiva su R^d. Proprietà del riordinamento radiale di funzioni:
    (i) il riordinamento di u conserva l'integrale di g(u) con g funzione positiva e semicontinua inferiormente, ed in particolare conserva le norme L^p.
    (ii) il riordinamento di u, v decresce l'integrale di g(u-v) con g funzione convessa pari (più altre proprietà); in particolare il riordinamento è una mappa 1-Lipschitz di L^p in sé.
    (iii) il riordinamento di u decresce l'integrale di g(u, |\nabla u|) con g continua e convessa nella seconda variabile; in particolare decresce la norma di Sobolev W^{1,p}.
    Applicazioni (solo accennate): calcolo della costante ottimale nella disuguaglianza di Sobolev; a parità di volume la palla minimizza il primo autovalore del Laplaciano (con condizioni di Dirichlet al bordo).
  28. Lun 03/06/2019 14:00-16:30 (3 ore, Aldo Pratelli)
    Il problema isoperimetrico I: introduzione, notazioni ed insiemi di perimetro finito, esistenza di insiemi isoperimetrici, simmetrizzazione rispetto ad un iperpiano.
  29. Mar 04/06/2019 14:00-16:30 (3 ore, Aldo Pratelli)
    Il problema isoperimetrico II: simmetrizzazione di Steiner; versione quantitativa della disuguaglianza di Steiner; convessità degli insiemi isoperimetrici.
  30. Mer 05/06/2019 14:00-16:30 (3 ore, Aldo Pratelli)
    Il problema isoperimetrico III: un isoperimetrico centrosimmetrico è necessariamente una palla; un isoperimetrico è necessariamente una palla.
    Il problema isoperimetrico per cluster I: definizioni e discussione preliminare del problema. Limitatezza di un cluster minimale.
  31. Gio 06/06/2019 14:00-16:15 (2 ore, Aldo Pratelli)
    Il problema isoperimetrico per cluster II: definizione di vettori irriducibili; esistenza di cluster minimali per volumi irriducibili; suddivisione di un volume generico in volumi irriducibili; esistenza generale di cluster minimali.