Dati registro

insegnamento: Analisi Matematica I
codice: 004AA
corso di studi: Ingegneria Gestionale (IGE-L)
anno accademico: 2016-2017
responsabile: Giovanni Alberti 
docente: Giovanni Alberti 
totale ore: 119 (lezione: 79 ore, esercitazione: 40 ore)

Lezioni
  1. Mer 28/09/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Presentazione del corso: programma, cosa è essenziale sapere, modalità dell'esame, mailing list, pagina web del docente, materiale didattico e libri di testo. 
    Alcuni esercizi di riscaldamento.
  2. Mer 28/09/2016 14:30-15:30 (1 ora) lezione.
    Ripasso delle nozioni di base. Grafici delle funzioni elementari: funzioni lineari e potenze. Operazioni sui grafici: dato il grafico di f(x), disegnare quello di f(x)+a e quello di f(x+a). 
  3. Mer 28/09/2016 15:30-16:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sui grafici di funzioni elementari. 
  4. Gio 29/09/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Grafici delle funzioni elementari: funzioni esponenziali e logaritmo (sempre in base "e").
    Operazioni sui grafici: dato il grafico di f(x) disegnare quelli di: a*f(x) con a>0, f(ax) con a>0, -f(x), f(-x).
    Funzioni pari, funzioni dispari, e interpretazione grafica di queste definizioni. 
  5. Ven 30/09/2016 10:30-11:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sui grafici di funzioni elementari. Disegnare il grafico di |f(x)| e di f(|x|) a partire dal grafico di f(x).
  6. Ven 30/09/2016 11:30-12:30 (1 ora) lezione.
    Nozioni di base di trigonometria: seno, coseno e tangente di un angolo, significato geometrico, formule fondamentali. 
  7. Sab 01/10/2016 10:30-11:30 (1 ora) lezione.
    Funzioni periodiche e loro grafici.
    Grafico delle funzioni sen(x), cos(x), tan(x).
    Coordinate polari di un punto del piano; passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari e viceversa. 
  8. Sab 01/10/2016 11:30-12:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sui grafici di funzioni.
  9. Mer 05/10/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Notazione per gli intervalli.
    Definizione intuitiva di funzione da un dominio X in un codominio Y, con X e Y insiemi generici.
    Funzioni definite da formule (con X sottoinsieme di R e Y=R) e loro insieme di definizione.
    Altri esempi di funzioni.
    Immagine di una funzione.
  10. Mer 05/10/2016 14:30-16:30 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sui grafici di funzioni. 
  11. Gio 06/10/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Definizione di funzione inversa.
    L'inversa g di una funzione f esiste se e solo se f è iniettiva e surgettiva (con dimostrazione del "solo se").
    Esempi di calcolo dell'inversa: f = funzione lineare, esponenziale, potenza dispari. Esempio di inversa "imperfetta": la radice quadrata come inversa di x^2.
    Com'è fatto il grafico della funzione inversa g? Il grafico x = g(y) coincide con il grafico y = f(x), il grafico y = g(x) si ottiene riflettendo il grafico y = f(x) rispetto alla retta y = x.
  12. Ven 07/10/2016 10:30-11:30 (1 ora) esercitazione.
    Altri esempi di funzioni inverse "imperfette": arcsin, arccos, arctan. Esercizi collegati. 
  13. Ven 07/10/2016 11:30-12:30 (1 ora) lezione.
    Limiti di funzioni: significato intuitivo e definizione precisa.
  14. Sab 08/10/2016 09:30-11:30 (2 ore) lezione.
    Esempio di limite che non esiste, limite destro e limite sinistro.
    Definizione di funzione continua. Le funzioni elementari sono continue, la funzioni ottenute combinando funzioni continue (ed in particolare combinando funzioni elementari) sono continue. Discussione di diversi esempi.
  15. Sab 08/10/2016 11:30-12:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sui limiti e sulle funzioni continue (discussione di diversi esempi). 
  16. Mer 12/10/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Alcune proprietà elementari dei limiti (non dimostrate): il limite della somma è la somma dei limiti, il limite del prodotto è il prodotto dei limiti, etc. etc. (limite del rapporto, limite delle funzioni composte).
    Estensione delle precedenti "regole" al caso di limiti infiniti; situazioni che non si possono risolvere facilmente ("forme indeterminate": infinito meno infinito, infinito per zero, zero diviso zero, etc.).
    Esempi. 
  17. Mer 12/10/2016 14:30-16:30 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sui limiti, esercizi sparsi su diversi argomenti trattati in precedenza. 
  18. Gio 13/10/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Definizione di derivata come limite del rapporto incrementale. (Motivazione geometrica: scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto dato.)
    Calcolo delle derivate: elenco delle derivate di tutte le funzioni elementari e delle varie "regole" (derivata della somma, del prodotto, del rapporto, e della funzione composta).
    Esempi di applicazione delle regole. (Le dimostrazioni sono rimandate alle lezioni successive.)
  19. Ven 14/10/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Alcune interpretazioni fisiche della derivata: definizione di velocità (scalare e vettoriale) e portata (di una conduttura).
    Dimostrazione delle regole di derivazione, e delle formule per le derivate delle funzioni elementari (tranne le funzioni trigonometriche). 
  20. Sab 15/10/2016 09:30-10:30 (1 ora) lezione.
    Dimostrazione delle formule per le derivate delle funzioni trigonometriche (sin, cos, tan) e delle funzioni trigonometriche inverse (arcsin, arccos, arctan). 
  21. Sab 15/10/2016 10:30-11:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sul calcolo delle derivate, e sull'applicazione del significato geometrico di derivata. 
  22. Sab 15/10/2016 11:30-12:30 (1 ora) lezione.
    Definizione di massimo e minimo di un insieme E di numeri reali. Definizione di estremo superiore e inferiore di un insieme E dato da un'unione finita di intervalli.
    Definizione di valore massimo e minimo di una funzione, definizione di punti di massimo e minimo (assoluti) di una funzione. Teorema di Weierstrass sull'esistenza dei punti di massimo e minimo. Esempi. 
  23. Mer 19/10/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Prime applicazione delle derivate allo studio delle proprietà qualitative delle funzioni.
    Definizione di punti di massimo e minimo di una funzione relativi ad un sottoinsieme del dominio; definizione di punti di massimo e minimo locale.
    Teorema: in un punto di massimo o minimo locale interno al dominio la derivata si annulla (con dimostrazione). Ruolo delle ipotesi.
    Procedura per la ricerca dei punti di massimo e minimo (assoluti) di una funzione. 
  24. Mer 19/10/2016 14:30-16:30 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sulla ricerca dei punti di minimo e massimo (assoluti) di una funzione. 
  25. Gio 20/10/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Altre applicazione delle derivate allo studio delle proprietà qualitative delle funzioni.
    Definizione di funzione crescente e strettamente crescente (rispettivamente: decrescente e strettamente decrescente).
    Teorema principale: caratterizzazione delle funzioni crescenti e decrescenti (in un intervallo) in termini di segno della derivata. Giustificazione geometrica e dimostrazione dettagliata usando i teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy (dimostrati a loro volta). 
  26. Ven 21/10/2016 10:30-11:30 (1 ora) esercitazione.
    Esempio di studio del grafico di una funzione. Problema collegato: determinare il numero di soluzioni di un'equazione. 
  27. Ven 21/10/2016 11:30-12:30 (1 ora) lezione.
    Definizione di insieme convesso (nel piano).
    Definizione di funzione convessa (rispettivamente concava) in termini della convessità del sopragrafico (rispettivamente del sottografico). Concavità e convessità di una funzione relativamente ad un sotto-intervallo del dominio. Espressione della convessità di una funzione come disuguaglianza. 
  28. Sab 22/10/2016 09:30-10:30 (1 ora) lezione.
    Caratterizzazione delle funzioni convesse o concave in termini di segno della derivata seconda (giustificazione geometrica). 
  29. Sab 22/10/2016 10:30-12:30 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sullo studio qualitativo dei grafici di funzioni e applicazioni: calcolo del numero di soluzioni di un'equazione, verifica della validità di una certa disequazione, risoluzione di un problema di ottimizzazione, etc. 
  30. Mer 26/10/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Teorema di de L'Hospital (enunciato informale ed enunciato preciso) con dimostrazione in un caso particolare.
    Confronto di "infiniti e infinitesimi": nozione di funzione trascurabile rispetto ad un'altra (f(x) << g(x) per x che tende a...); introduzione della notazione "o piccolo" (f(x) = o(g(x)) per x che tende a...).
    Esempi significativi: confronto tra logaritmo, potenze ed esponenziali per x che tende all'infinito; confronto tra logaritmo e potenze (negative) per x che tende a zero. 
  31. Mer 26/10/2016 14:30-16:30 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi basati sul confronto delle funzioni elementari (visto alla lezione precedente).
    Esercizi legati allo studio di funzioni (tipo quelli della seconda parte dello scritto). 
  32. Gio 27/10/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Confronto di "infiniti e infinitesimi": nozione di equivalenza asintotica di due funzioni (f(x) ~ g(x) per x che tende a...). Esempi.
    Proprietà fondamentali e principio di sostituzione degli infiniti / infinitesimi nei limiti. definizione di parte principale di una funzione per x che tende a 0 o a +infinito. Applicazione al calcolo dei limiti.
    Nozione di "o grande" (f=O(g)) (definizione "semplificata" con il limite del rapporto e definizione generale). Esempi di uso di questa notazione. Relazioni tra o(x^a) e O(x^b) al variare di a e b (caso x -> +infinito e caso x -> 0). 
  33. Ven 28/10/2016 10:30-11:30 (1 ora) lezione.
    Notazione compatta per la somma.
    Fattoriale (di un numero intero).
    Polinomio di Taylor (P_d) di ordine d di una funzione f (nel punto x=0); resto di Taylor (R_d) e sviluppo di Taylor: f(x) = P_d(x) + R_d(x). Teorema dello sviluppo di Taylor: il resto è o(x^d), anzi O(x^{d+1}), formula di Lagrange per il resto.
    Primo esempio fondamentale: sviluppo di Taylor di e^x. 
  34. Ven 28/10/2016 11:30-12:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sul calcolo delle parti principali (e dei limiti) usando gli sviluppi di Taylor. 
  35. Sab 29/10/2016 10:30-12:30. Lezione non tenuta per assenza del docente, già recuperata in precedenza facendo tre ore di lezione per diversi sabati. 
  36. Mer 02/11/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Calcolo degli sviluppi di Taylor di e^x , cos(x), sin(x).
    Lo sviluppo di Taylor (in 0) delle funzioni pari contiene solo i termini di grado pari, quello delle funzioni dispari contiene solo i termini di grado dispari (con dimostrazione).
    Relazione tra lo sviluppo di Taylor di una funzione e quello della derivata (con dimostrazione). 
  37. Mer 02/11/2016 14:30-15:30 (1 ora) lezione.
    Calcolo dello sviluppo di Taylor di log(1+x), (1+x)^a (casi particolari: 1/(1+x), 1/(1-x)); definizione dei coefficienti binomiali "a su n" con a reale e n intero. 
  38. Mer 02/11/2016 15:30-16:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sull'uso degli sviluppi di Taylor per il calcolo delle parti principali. 
  39. Gio 03/11/2016 10:30-12:30 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sul calcolo dei limiti e delle parti principali usando gli sviluppi di Taylor.
    Calcolo della parte principale della somma di due funzioni a partire dalle loro parti principali. 
  40. Ven 04/11/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Dimostrazione del teorema dello sviluppo di Taylor (con resto in forma di "o grande" e con resto in forma di Lagrange).
    Coefficienti binomiali "d su n" con d e n interi, alcune semplici proprietà e formula alternativa (dimostrate), calcolo tramite il triangolo di Tartaglia (senza dimostrazione). Formula del binomio di Newton. 
  41. Sab 05/11/2016 09:30-11:30 (2 ore) lezione.
    Osservazione: ogni polinomio grado d coincide con il suo polinomio di Taylor (in 0) di grado d (o più).
    Dimostrazione della formula del binomio di Newton, prima nel caso particolare (1+x)^d e poi nel caso generale (a+b)^d.
    Sviluppo di Taylor di una funzione in un punto x_0 diverso da 0.
    Propagazione degli errori: stima di |f(x+h)-f(x)| in termini dell'errore h e di una costante che maggiora |f'|. 
  42. Sab 05/11/2016 11:30-12:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi (su parti principali e sviluppi di Taylor) svolti in aula degli studenti presenti. 
  43. Mer 09/11/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Ripasso veloce: numeri naturali, interi, e razionali (e a cosa servono). Perché i razionali non bastano a misurare in modo esatto tutte le grandezze.
    I numeri reali, intesi come numeri con espansione decimale finita o infinita, periodica o non periodica.
    I numeri razionali sono tutti e soli i numeri reali con espansione decimale finita o periodica (con dimostrazione nel caso di due esempi concreti).
    Definizione di estremo superiore e inferiore di un qualunque sottoinsieme di numeri reali. Completezza dei numeri reali: un insieme limitato superiormente (inferiormente) ammette estremo superiore (inferiore), con accenno di dimostrazione.
    Applicazione della completezza: il teorema di esistenza degli zeri (per una funzione continua su un intervallo con valori discordi agli estremi; la dimostrazione è rimandata alle lezioni successive). 
  44. Mer 09/11/2016 14:30-16:30 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi su sviluppi di Taylor e parti principali. 
  45. Gio 10/11/2016 10:30-11:30 (1 ora) lezione.
    Dimostrazione "astratta" del teorema di esistenza degli zeri (solo accennata).
    Calcolo approssimato di uno zero di una funzione continua tramite il metodo di bisezione (e seconda dimostrazione del teorema di esistenza degli zeri).
    Esempio concreto della procedura: calcolare la soluzione dell'equazione x^5 + x - 1 = 0 compresa tra 0 e 1 con errore inferiore a 10^{-3}. 
  46. Gio 10/11/2016 11:30-12:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sparsi sugli argomenti della prima metà del corso. 
  47. Ven 11/11/2016 10:30-11:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi lunghi (da "seconda parte" dello scritto) su studi di funzioni, parti principali, etc. 
  48. Ven 11/11/2016 11:30-12:30 (1 ora) lezione.
    Integrali: definizione di integrale (definito) di una funzione positiva come area del sottografico; definizione di integrale una di funzione a segno variabile.
    Approssimazione degli integrali con somme finite (somme di Riemann) nel caso delle funzioni continue (senza dimostrazione). 
  49. Sab 12/11/2016 10:30-12:30. Lezione non tenuta, per concomitanza con la prima prova in itinere (dalle 9 alle 13.30).
  50. Mer 16/11/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Approssimazione dell'integrale con somme finite (richiamo della lezione precedente). Applicazione al calcolo (esatto!) dell'integrale da 0 a 1 di x^2.
    Applicazioni dell'integrale alla fisica: calcolo dello spazio percorso da un punto che si muove a velocità nota, calcolo del lavoro fatto da una forza non costante su un punto che si muove lungo un segmento.
    Definizione di primitiva e teorema fondamentale del calcolo integrale (la dimostrazione è rimandata alla lezione seguente). Esempi di calcolo di integrali definiti.
    Approccio generale al calcolo degli integrali definiti e indefiniti (primitive): elenco delle primitive di alcune funzioni elementari, e "regole" (rimandate alla lezione successiva). 
  51. Mer 16/11/2016 14:30-16:30 (2 ore) lezione.
    Calcolo di integrali definiti e indefiniti (primitive): formula per l'integrale della somma di due funzioni, formula per l'integrale del prodotto di una funzione per una costante, formula di integrazione per parti. Dimostrazione di queste regole ed esempi di uso. Formula di cambio di variabile (senza dimostrazione) ed esempi di uso.
    Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale. 
  52. Gio 17/11/2016 09:30-10:30 (1 ora) lezione.
    Formula di cambio di variabile negli integrali definiti ed indefiniti: possibili varianti, con esempi di uso. Dimostrazione della formula nella variante più semplice.
    Ultime osservazioni sul calcolo degli integrali definiti e indefiniti (integrazione di funzioni pari e dispari su intervalli simmetrici, etc.). 
  53. Gio 17/11/2016 11:30-12:30 (1 ora) lezione.
    Esercizi sul calcolo di integrali definiti e indefiniti (primitive). 
  54. Ven 18/11/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Calcolo di aree e volumi: l'area di una figura piana è data dall'integrale delle lunghezze delle sezioni ortogonali ad una retta data; il volume di una figura solida è dato dall'integrale delle aree delle sezioni ortogonali ad una retta data. Giustificazione di entrambe le formule (per la seconda si dà per nota la formula per il volume del cilindro retto di base qualunque_.
    Esempi significativi: il volume della sfera e del cono.
    Esercizi sul calcolo delle aree. 
  55. Sab 19/11/2016 09:30-10:30 (1 ora) lezione.
    Volume del cono con base qualunque, con dimostrazione.
    Formule dei volumi dei solidi di rotazione (cioè quelli dati dalla rotazione del sottografico di una funzione attorno all'asse delle x oppure delle y) con dimostrazione / giustificazione. 
  56. Sab 19/11/2016 10:30-12:30 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sul calcolo di integrali, aree e volumi. 
  57. Mer 23/11/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Velocità e accelerazione (intese come vettori) di un punto in movimento nel piano, vale a dire P(t) = (x(t), y(t)), estensione al caso di un punto in movimento nello spazio. Traiettoria di un punto in movimento. Moto rettilineo uniforme e moto circolare uniforme. La velocità scalare (derivata della distanza percorsa) è il modulo della velocità vettore. Calcolo della distanza percorsa da un punto in movimento.
    Parametrizzazione di una curva nel piano (o nello spazio) e formula per la lunghezza della curva. Lunghezza del grafico di una funzione. 
  58. Mer 23/11/2016 14:30-16:30 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sul calcolo di integrali, aree e volumi. 
  59. Gio 24/11/2016 10:30-12:30. Lezione non tenuta perché l'aula B21 è impegnata per l'esame di stato di Ingegneria. 
  60. Ven 25/11/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Limitazioni della teoria degli integrali (definiti) sviluppata fino ad ora.
    Integrali impropri semplici: definizione come limite e calcolo (conoscendo una primitiva), possibili comportamenti (con esempi). Esempi standard di integrali impropri.
    Problema chiave: determinare del comportamento di un integrale improprio di cui non si conosce la primitiva.
    Primi risultati teorici (con dimostrazione): il comportamento di un integrale improprio non cambia modificando l'estremo di integrazione in cui non è improprio; l'integrale improprio di una funzione positiva esiste sempre; varianti di quest'ultimo enunciato. 
  61. Sab 26/11/2016 09:30-10:30 (1 ora) lezione.
    Integrali improprio di funzioni positive: criterio del confronto (f < g), del confronto asintotico in forma debole (f=O(g)) e forte (f ~ cg con c diverso da 0). (Le dimostrazioni sono rimandate alla lezione successiva.)
    Osservazione utile: il segno di una funzione "vicino all'infinito" (o "vicino a zero") coincide con quello della parte principale (o di ogni altra funzione asintoticamente equivalente). 
  62. Sab 26/11/2016 10:30-12:30 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sul calcolo degli integrali impropri, e sull'uso del principio del confronto (nelle sue varie forme) per determinare il comportamento degli integrali impropri. 
  63. Mer 30/11/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Dimostrazione dei criteri del confronto per gli integrali impropri (enunciati due lezioni prima).
    Criterio della convergenza assoluta con giustificazione "geometrica" e dimostrazione "analitica".
    Integrali impropri generali (semplici e non), vale a dire quelli in cui la funzione integranda è ben definita e continua in tutti i punti dell'intervallo di integrazione tranne un numero finito. Decomposizione degli integrali impropri come somma di integrali impropri semplici e definizione del valore dell'integrale di partenza come somma dei valori di quest'ultimi. Alcuni esempi. 
  64. Mer 30/11/2016 14:30-16:30 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sul calcolo degli integrali impropri (semplici e non). 
  65. Gio 01/12/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Successione (numerica) intesa come sequenza infinita di numeri: x_1, x_2,... Definizione di limite di una successione, e relazione tra i limiti delle funzioni e i limiti delle successioni. Esempi di calcolo dei limiti (tramite i limiti di funzioni).
    Serie (numerica) intesa somma infinita, ovvero come somma degli elementi di una successione. Definizione precisa come limite delle somme parziali; i comportamenti possibili di una serie sono gli stessi dei limiti. Osservazione: il comportamento di una serie non cambia se si alterano o se si rimuovono un numero finito di addendi (ma può cambiare il valore). Esempio fondamentale: la serie geometrica di base x. 
  66. Ven 02/12/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Altre osservazioni elementari sul comportamento delle serie: (a) se l'addendo x_n ha limite L (per n -> infinito) e L > 0 allora la serie diverge a +infinito, se L < 0 la serie diverge a -infinito, se L = 0 non si può dire nulla a priori; (b) se la serie converge allora x_n tende a 0 (cioè L = 0).
    Le serie a termini positivi convergono a numero finito oppure oppure divergono a +infinito.
    Risultato fondamentale: criterio del confronto con l'integrale per la serie di f(n) con f positiva e decrescente. Discussione della serie armonica generalizzata. Stima della differenza tra il valore della serie di f(n) e quello di una sua somma parziale. Esempio: trovare N per cui la somma di 1/n^4 con n che va da 1 a N approssima la serie di 1/n^4 con errore inferiore a 10^{-10}. 
  67. Sab 03/12/2016 09:30-10:30 (1 ora) lezione.
    Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto e criteri del confronto asintotico debole e forte (dimostrati). Esempi di uso. 
  68. Sab 03/12/2016 10:30-12:30 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sullo studio del comportamento delle serie utilizzando i criteri del confronto.
    Esercizi sul calcolo di volumi, integrali e integrali impropri. 
  69. Mer 07/12/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Criteri di convergenza per le serie: criterio della convergenza assoluta, criterio della radice per serie a termini positivi (e variante per serie a termini di segno variabile), criterio del rapporto per serie a termini positivi (e variante per serie a termini di segno variabile). Dimostrazioni di questi tre i criteri ed esempi di uso. 
  70. Mer 07/12/2016 14:30-15:30 (1 ora) lezione.
    Definizione di serie di potenze (o polinomi di grado infinito). 
  71. Teorema fondamentale: (a) esiste un numero positivo R, detto raggio di convergenza della serie, tale che la serie converge se |x| < R e non converge se |x| > R (senza dimostrazione); (b) calcolo di R tramite il criterio della radice (con dimostrazione); (c) calcolo di R tramite il criterio del rapporto (con dimostrazione); (d) derivata della serie nell'intervallo (-R,R) (senza dimostrazione). 
  72. Mer 07/12/2016 15:30-16:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizio teorico: derivata di funzioni definite da integrali con estremi di integrazione dipendenti dalla variabile x, con esempi.
    Esercizi sul calcolo del raggio di convergenza e lo studio del comportamento delle serie di potenze. 
  73. Ven 09/12/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Serie di Taylor (in 0) di una funzione f. La serie di T. di f converge al valore di f in x se il resto di Taylor R_n(x) tende a zero per n che tende a infinito. Le serie di Taylor di e^x, sin(x), cos(x) hanno raggio di convergenza infinito e convergono alle rispettive funzioni per ogni x in R (con dimostrazione). Le serie di Taylor di (1+x)^a, 1/(1-x), log(1+x) hanno raggio di convergenza 1 e convergono alle rispettive funzioni per ogni x in (-1,1) (senza dimostrazione).
    Applicazioni: rappresentazione del numero "e" come serie, rappresentazione del numero "pi greco" come serie (dimostrazione incompleta!), definizione di exp(z) con z numero complesso tramite la serie di Taylor dell'esponenziale e dimostrazione della formula exp(ix) = cos(x) + i sin(x). 
  74. Sab 10/12/2016 09:30-11:30 (2 ore) lezione.
    Equazioni differenziali. Esempi tratti dalla fisica: determinazione della legge oraria di un oggetto in caduta libera (con gravità costante e non); esempio di equazione di decadimento (serbatoio che si svuota). Ruolo delle condizioni iniziali nella determinazione delle soluzioni.
    Equazioni differenziali del primo ordine: forma normale, e versione semplificata del teorema di esistenza ed unicità per il problema con le condizioni iniziali (senza dimostrazione). Conseguenza: le soluzioni di un'equazione del primo ordine formano una famiglia di funzioni ad un parametro.
    Equazioni lineari del primo ordine: forma normale e risoluzione (tramite fattore integrante). Esempi. 
  75. Sab 10/12/2016 11:30-12:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi su serie e serie di potenze. 
  76. Mer 14/12/2016 10:30-11:30 (1 ora) lezione.
    Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Forma normale e risoluzione per separazione delle variabili (le soluzioni costanti vanno cercate separatamente). Esempi. 
  77. Mer 14/12/2016 11:30-12:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sulle equazioni differenziali. 
  78. Mer 14/12/2016 14:30-16:30 (2 ore) lezione.
    Equazioni differenziali del secondo ordine. Forma normale, versione semplificata del teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni del problema con le condizioni iniziali; conseguenza: le soluzioni di un'equazione differenziale del secondo ordine formano una famiglia di funzioni a due parametri. Classificazione delle equazioni lineari (omogenee, a coefficienti costanti).
    L'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea è uno spazio vettoriale di dimensione due, e in particolare è dato dalle combinazioni lineari di due soluzioni che non sono una multiplo dell'altra.
    Risoluzione delle equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti. Esempi. 
  79. Gio 15/12/2016 10:30-12:30. Lezione non tenuta per assenza del docente, e sostituita con un'esercitazione straordinaria tenuta dal dottor Luigi Forcella. 
  80. Ven 16/12/2016 10:30-12:30 (2 ore) lezione.
    Equazioni differenziali del secondo ordine lineari, a coefficienti costanti e non omogenee. La soluzione generale si ottiene sommando una soluzione particolare e la soluzione generale dell'equazione omogenea.
    "Ricettario" per la ricerca della soluzione particolare per alcune classi di termini noti: esponenziali, polinomi, combinazioni di esponenziali e funzioni trigonometriche. Esempi per (quasi) tutti i casi presentati. 
  81. Sab 17/12/2016 09:30-11:30 (2 ore) lezione.
    Risoluzione delle equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti tramite la procedura usata per le equazioni del secondo ordine (risoluzione dell'equazione omogenea e ricerca di una soluzione particolare).
    Risoluzione numerica dell'equazione differenziale x' = f(t,x) con condizione iniziale x(t_0) = x_0 (cenno).
    Equazione del pendolo e dell'oscillatore armonico.
  82. Sab 17/12/2016 11:30-12:30 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi lunghi (da seconda parte dello scritto) su equazioni differenziali e integrali impropri.