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insegnamento: Theory of Currents (Teoria delle Correnti)
lingua del corso: inglese
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corso di studi: Dottorato in Matematica (CD05 - Matematica)
anno accademico: 2013-2014
responsabile: Giovanni Alberti 
docente: Giovanni Alberti 
totale ore: 31,5

Lezioni

1. Mer 12/03/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
   Introduzione: il problema di Plateau. Possibili approcci alla soluzione (intesa come dimostrazione dell'esistenza di una superficie minima). In questo corso useremo il problema di Plateau come come "guida" per sviluppare la teoria delle correnti.
2. Gio 13/03/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
   Ripasso delle nozioni fondamentali di teoria della misura. Definizione di misura di Hausdorff d-dimensionale e sue proprietà fondamentali.
3. Mer 19/03/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
   Ulteriori osservazioni sulla misura di Hausdorff; dimensione di Hausdorff. Formula dell'area per mappe di classe C^1 da R^d in R^n. Breve digressione sulle nozioni alternative di misura d-dimensionale.
4. Gio 20/03/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
   Funzioni (e mappe) Lipschitziane. Teorema di Rademacher e proprietà di Lusin con le funzioni C^1.
   Insiemi rettificabili d-dimensionali in R^n. Caratterizzazione in termini di ricoprimento con superfici di classe C^1 di dimensione d. Fibrato tangente in senso debole. Esempi di insiemi rettificabili "brutti".
5. Mer 26/03/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
   Esempi di insiemi puramente non rettificabili. Breve digressione sulle caratterizzazioni degli insiemi rettificabili. Spazio tangente in senso approssimato per un insieme rettificabile di misura localmente finita. Estensione della formula dell'area a mappe Lipschitziane (da un insieme rettificabile d-dimensionale a valori in R^n).
6. Gio 27/03/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
   Ripasso delle nozioni di base di algebra multilineare. k-covettori (su uno spazio vettoriale V qualunque). Prodotto esterno. Base dei k-covettori associata ad una base di V. Rappresentazione di un k-covettore in termini di questa base. Il caso V=R^n. Formula di Binet generalizzata.
7. Mer 02/04/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
   k-vettori semplici in V come classi di equivalenza di k-uple di vettori rispetto all'azione dei k-covettori; i k-vettori semplici unitari rappresentano i k-piani orientati di V. Definizione di superficie orientata e orientazione del bordo. Definizione di forme differenziali e teorema di Stokes.
8. Gio 03/04/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
   Definizione astratta di k-vettori. Norme sollo spazio dei k-vettori e dei k-covettori. Definizione di corrente k-dimensionale. Bordo e massa di una corrente. Caratterizzazioni delle k-correnti con massa finita come misure vettoriali a valori nei k-vettori.
9. Mer 30/04/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
   Correnti di massa finita: rappresentazione e loro proprietà di compattezza. Correnti normali e loro proprietà di compattezza, soluzione del problema di Plateau nell'ambito delle correnti normali. Correnti rettificabili a molteplicità reale e intera. Correnti intere ed enunciato del teorema di compattezza di Federer e Fleming; soluzione del problema di Plateau nell'ambito delle correnti intere.
10. Mar 06/05/2014, 16:00-17:30 (1,5 ore), lezione.
    Enunciato del teorema di rettificabilità del bordo. Correnti poliedrali ed enunciati dei teoremi di approssimazione per correnti normali e correnti intere in termini di correnti poliedrali. Constancy lemma.
11. Mer 07/05/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
    Struttura delle d-correnti con bordo di massa finita in R^d oppure supportate su una superficie d-dimensionale in R^n. Seconda versione del constancy lemma. Prodotto di correnti: definizione stratta, bordo del prodotto, prodotto di correnti di massa finita e di correnti rettificabili.
12. Gio 08/05/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
    Pull-back di k-covettori e push-forward di k-vettori. Pull-back di k-forme e push-forward di k-correnti. Push-forward delle correnti di massa finita, e stima della sua massa. Il bordo del push-forward coincide con il push-forward del bordo. Il push-forward di una corrente rettificabile è una corrente rettificabile; caratterizzazione esplicita dell'insieme di supporto e della molteplicità del push-forward.
13. Mar 13/05/2014, 16:00-17:30 (1,5 ore), lezione.
    Completamento della dimostrazione della formula per il push-forward di una corrente rettificabile. Esempi di calcolo del push-forward. Uso del push-forward e del constancy lemma per dimostrare il teorema fondamentale delle teoria del grado per mappe tra superfici compatte senza bordo.
    Corrente associata ad un cammino Lipschitziano. Teorema di struttura per le 1-correnti intere (con cenno di dimostrazione).
14. Mer 14/05/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
    Digressione sulla nozione di supporto di una corrente. Troncamento di una corrente per moltiplicazione per una funzione cut-off. Il supporto di una d-corrente normale ha dimensione almeno d. Ogni d-corrente senza bordo e a supporto compatto in R^n con 0
15. Gio 15/05/2014, 11:30-13:00 (1,5 ore), lezione.
    Norma flat di una corrente. La convergenza rispetto alla norma flat implica la convergenza nel senso delle correnti. Significato geometrico della distanza flat tra due correnti. Sotto opportune la distanza flat metrizza la convergenza debole (la dimostrazione è rimandata a dopo). Varianti della norma flat. Caratterizzazione della norma flat come estremo superiore dell'azione della corrente su certe forme.
16. Lun 19/05/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
    Formula di omotopia per correnti senza bordo, e relative stime della massa. Teorema di deformazione poliedrale: idea e punti chiave della della dimostrazione.
17. Mar 20/05/2014, 16:00-17:30 (1,5 ore), lezione.
    Miglioramento di una stima legata alla formula di omotopia. Dimostrazione del teorema di deformazione poliedrale per correnti senza bordo.
18. Mar 27/05/2014, 16:00-17:30 (1,5 ore), lezione.
    La formula di omotopia e il teorema di deformazione poliedrale per correnti con bordo (dimostrazione solo accennata). Approssimazione in massa con correnti poliedrali (dimostrazione solo accennata).
19. Mer 28/05/2014, 11:00-12:30 (1,5 ore), lezione.
    Il teorema isoperimetrico in R^n (con dimostrazione) e più in generale in un aperto regolare di R^n e oppure in una varietà compatta n-dimensionale (senza dimostrazione).
    Definizione di classe di omologia per correnti intere e per correnti normali, rappresentazione del k-esimo gruppo di omologia a coefficienti interi (rispettivamente reali) di una varietà compatta senza bordo in termini di correnti intere (rispettivamente normali). Soluzione del problema di Plateau omologico nell'ambito delle correnti intere.
    Introduzione alla nozione di slicing di una k-corrente secondo una mappa: il caso delle superfici orientate regolari.
20. Gio 29/05/2014, 11:30-13:00 (1,5 ore), lezione.
    Formula di coarea (senza dimostrazione) e dimostrazione della formula di slicing per superfici orientate regolari. Definizione astratta dello slicing T_y di una k-corrente T secondo una mappa f da R^n in R^h con h \le k (per quasi ogni y in R^h). Esistenza e caratterizzazione dello slicing di una corrente rettificabile. Esistenza e caratterizzazione dello slicing di una corrente normale (senza dimostrazione).
21. Gio 29/05/2014, 18:00-19:30 (1,5 ore), lezione.
    Caratterizzazione dello slicing in termini di bordo (dimostrata solo per h=1). La mappa che ad ogni y associa lo slicing T_y è di classe BV (dimostrato solo per h=1).
    Caratterizzazione delle correnti intere per slicing (con traccia di dimostrazione). Uso di tale caratterizzazione per dimostrare il teorema di compattezza di Federer e Fleming.