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insegnamento: Analisi in più Variabili 2
corso di studi: Matematica (triennale e magistrale)
anno accademico: 2013-2014
responsabile: Giovanni Alberti
docenti: Giovanni Alberti, Vincenzo Maria Tortorelli
codice: 518AA
totale ore: 74 (lezione: 45 ore, esercitazione: 22 ore, lezione su argomenti fuori programma: 7 ore)
totale ore Giovanni Alberti: 53 (lezione: 52 ore, esercitazione: 1 ora)
totale ore Vincenzo Maria Tortorelli: 21 (esercitazione: 21 ore)

Lezioni
  1. Gio 26/09/2013, 14:00-16:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Presentazione del corso: programma, modalità d'esame, pagina web, mailing list, materiale didattico.
    Prerequisiti dai corso di analisi e geometria del secondo anno.
    Inizio delle disuguaglianze integrali: disuguaglianza di Jensen.
  2. Ven 27/09/2013, 16:00-18:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Altre disuguaglianze integrali: Hölder e Minkowski (con discussione del caso dell'uguaglianza).
    Definizione dello spazio normato L^p(E) con E insieme di misura (di Lebesgue) positive in R^n. La norma di L^2(E) deriva da un prodotto scalare.
    (Giovanni Alberti)
  3. Mar 01/10/2013, 11:00-13:00 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli) esercitazione.
    Esercizi sugli spazi L^p: sia f -> min{ 1,f }: dimostrare buona definizione e continuità in norma L^p.
    Esercizi dal II foglio: 0, 11Ex3E3, 12, 14.
  4. Gio 03/10/2013, 14:00-16:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Disuguaglianza di Chebyshev.
    Dimostrazione della completezza dello spazio L^p(E).
    Confronto di varie nozioni di convergenza per successioni di funzioni: uniforme, puntuale, puntuale quasi ovunque, in norma L^p, in misura (con la dimostrazione dei risultati più significativi).
    Teorema di Severini-Egorov.
  5. Ven 04/10/2013, 16:00-18:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Vari risultati di approssimazione più o meno elementari per le funzioni in L^p(E): tramite funzioni limitate / funzioni semplici / funzioni continue a supporto compatto.
    Teorema di Lusin (in forma semplice).
    Definizione del prodotto di convoluzione su R^n, prima per due funzioni positive e poi per due funzioni in L^1.
  6. Mar 08/10/2013, 11:00-13:00 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli) esercitazione.
    Spazi L^p: controesempi alle varie implicazioni tra convergenza in misura, q.o., in norma L^p (esercizi 11 e 12 del primo foglio). Non metrizzabilità della convergenza quasi ovunque. Esercizi dal II foglio: 16, 13, 14.
  7. Gio 10/10/2013, 14:00-16:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Convoluzione di funzioni su R^n. Data f in L^p e g in L^1, f*g è in L^p; data f in L^p e g in L^q con q coniugato di p, f*g è continua e limitata (e infinitesima all'infinito se p e q sono finiti).
    Convoluzione e derivazione: la convoluzione di g in L^q con una funzione f di classe C^1 tale che f e Df sono in L^p è una funzione C^1, e D(f*g) = (Df)*g.
  8. Ven 11/10/2013, 16:00-18:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Risultato generale: data f in L^p e g in L^q allora f*g appartiene a L^r con r tale che... (solo enunciato).
    Approssimazione in L^p tramite convoluzione con un nucleo in L^1. Approssimazione tramite convoluzione con un nucleo regolarizzante.
  9. Mar 15/10/2013, 11:15-13:05 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli) esercitazione.
    Spazi L^p. foglio IV, esercizio 1 (L^p non è Hilbert per p diverso da 2).
    Foglio II, esercizio 12Ex3E3 (non compattezza della palla unitaria di L^p, e totale limitatezza).
    Foglio III bis, esercizio 1.
    Enunciato criterio di convergenza (compattezza di Vitali-Caccioppoli in L^p con misura finita).
    Convoluzione. Foglio III, esercizi 09Ex1E3, 5. Foglio III bis, esercizi 1, 2a, 3, accennata la soluzione del 6.
  10. Gio 17/10/2013, 14:00-16:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Spazi di Hilbert: dimostrazione del teorema di rappresentazione in termini di una base di Hilbert, unicità della rappresentazione, identità di Parseval.
    Alcuni risultati sulle basi di Hilbert: un insieme ortonormale è una base se e solo se è massimale (rispetto all'inclusione); ogni sistema ortonormale può essere completato ad una base di Hilbert; uno spazio di H di dimensione infinita ammette una base numerabile se e solo se è separabile. Costruzione di una base di H tramite il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
  11. Ven 18/10/2013, 16:00-18:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Uno spazio di Hilbert si scompone come somma di un qualunque sottospazio chiuso e del suo complemento ortogonale, caratterizzazione della proiezione (definita in senso algebrico) su un sottospazio chiuso come punto di minima distanza; ogni funzione lineare e continua su uno spazio di Hilbert si rappresenta in termini di prodotto scalare (teorema di Riesz). Vari esempi e controesempi.
    Spazi di Hilbert complessi: che modifiche vanno apportate alla teoria vista per il caso reale?
  12. Mar 22/10/2013, 11:00-13:00 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli) esercitazione.
    Spazi di Hilbert. Esercizi dal foglio IIIter: 3b (approssimazione con polinomi trigonometrici convolvendo con (cos +1/2)]^n).
    Esercizi dal foglio IV: 4, 3, 11Ex2E1, 09Ex1E5, 7, 6d (le combinazioni lineari di funzioni di Haar non costanti sono L^2-dense nelle funzioni a media nulla su [0;1], le funzioni in L^1(R) e L^2(R) a media nulla son dense in L^2(R)).
    Come estendere una funzione lineare e continua definita su un sottospazio denso a tutto lo spazio.
  13. Gio 24/10/2013, 14:00-16:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Serie di Fourier complessa. Teorema fondamentale sulla rappresentazione in termini della serie di Fourier.
    Teorema di Stone-Weierstrass (solo enunciato).
    Dimostrazione del fatto che la base di Fourier è effettivamente una base di Hilbert.
    Coefficienti di Fourier della derivata di una funzione C^1 e 2pigreco-periodica. Decadimento dei coefficienti di tale funzione e convergenza totale della serie di Fourier.
  14. Ven 25/10/2013, 16:00-18:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Relazioni tra regolarità e decadimento dei coefficienti di F per una funzione 2pigreco-periodica.
    Alcune osservazioni sulla convergenza puntuale della serie di Fourier: rappresentazione delle somme parziali della serie di Fourier di una funzione in termini di convoluzione per il nucleo di Dirichlet.
    Convergenza della serie di Fourier nei punti di regolarità Hölderiana (dimostrazione rimandata alla lezione successiva).
  15. Mar 29/10/2013, 11:00-13:00 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli) esercitazione.
    Approssimazioni dell'identità. Densità di polinomi e polinomi trigonometrici in L^2.
    Polinomi di Legendre.
    Relativa compattezza degli ellissoidi in elle piccolo^2.
    Caratterizzazione della continuità degli operatori lineari tra spazi normati in termini di limitatezza.
    Foglio IIIter: esercizi 1a, 3.
    Foglio IV: esercizi 8, 12C1E7, 9e (un'implicazione sola).
    Foglio V: esercizi 1, 3a.
    Foglio VI: esercizi 11C1E1, 11Ex1E4.
  16. Gio 31/10/2013, 14:00-16:00 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli) esercitazione.
    Coefficienti di Fourier.
    Foglio VI: esercizi 1 (relazioni tra coefficienti complessi e coefficienti del sistema trigonometrico reale), 2a (caratterizzazione dei coefficienti di una funzione reale), 2b (coefficienti complessi pari nulli).
    Uso della diseguaglianza di convoluzione per la norma dell'estremo superiore.
  17. Mar 05/11/2013, 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Dimostrazione della convergenza puntuale della serie di Fourier di una funzione 2pigreco-periodica e Hölderiana (in un punto).
    Prima applicazione della serie di Fourier: la disuguaglianza isoperimetrica nel piano.
  18. Gio 07/11/2013, 14:00-16:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Equazione del calore. Derivazione dell'equazione in una dimensione spaziale da principi fisici elementari. Equazione del calore su un anello di materiale conduttore, ovvero condizioni di periodicità agli estremi. Risoluzione di quest'ultimo problema tramite la serie di Fourier: derivazione formale della formula risolutiva, teorema di esistenza ed unicità (per le soluzioni classiche con dato iniziale sufficientemente regolare). Effetto regolarizzante dell'equazione del calore; non risolubilità dell'equazione del calore nel passato.
  19. Ven 08/11/2013, 16:00-18:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Equazione delle onde; derivazione dell'equazione delle onde in una dimensione spaziale come onde di compressione in una barra elastica a partire da principi fisici elementari (legge di Hooke per le molle). Risoluzione dell'equazione delle onde con condizione di periodicità agli estremi tramite la serie di Fourier: derivazione formale della formula risolutiva, teorema di esistenza e di unicità (per le soluzioni classiche con dati iniziali sufficientemente regolari). Formula risolutiva di d'Alambert e seconda dimostrazione del teorema di esistenza.
  20. Mar 12/11/2013, 11:00-12:00 (1 ora) lezione non tenuta per sospensione didattica.
  21. Mar 12/11/2013, 12:00-13:00 (1 ora, Vincenzo Maria Tortorelli) esercitazione.
    Lemma fondamentale sui coefficienti di Fourier: una funzione L^1 con coefficienti nulli è nulla quasi ovunque.
    Coefficienti di f(x-p) e f(mx) a partire da quelli di f. Coefficienti di sin(x/3) vanno come 1/k.
  22. Gio 14/11/2013, 14:00-16:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Varianti della serie di Fourier: serie di Fourier reale, serie in seni su [0,pigreco], serie di Fourier complessa sul quadrato. Applicazione della serie in seni alla risoluzione dell'equazione delle onde e del calore con condizioni di Dirichlet agli estremi. (Cosa va storto se si usa la serie di Fourier usuale?)
    Cosa c'è dietro alla serie di Fourier: la base di Fourier come base di autovettori associata ad un'applicazione lineare auto-aggiunta. Possibili generalizzazioni agli operatori auto-aggiunti da (un sottospazio denso di) uno spazio di Hilbert in sé. Attenzione: al momento non abbiamo un teorema spettrale adeguato.
  23. Ven 15/11/2013, 16:00-18:00 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli) esercitazione.
    Coefficienti di Fourier e convergenza della serie di Fourier.
    VII foglio, esercizi 4b, c e d, 5a e b, 4e, 09Ex1E1, 6a, 12a e b, 10b e c, 12d e e.
    Convergenza totale della serie di F. per continue regolari a tratti. Convergenza totale per funzioni Lipschitz (traccia).
  24. Mar 19/11/2013, 11:00-12:00 (1 ora, Vincenzo Maria Tortorelli) esercitazione.
    Convergenza serie di Fourier e soluzioni di Fourier dell'equazione del calore.
    1) Somma per parti e convergenza di serie numeriche di prodotti: VIII foglio es. 2b e c.
    2) Somma per parti di serie di funzioni a_k(t) b_k(x) e convergenza uniforme: X foglio a, b, c (il punto c è stato fatto un po' più in generale che nel testo dell'esercizio).
    3) Convergenza uniforme serie di Fourier regolari a tratti, VIII foglio, esercizio 3a e b.
    4) Continuità della soluzione del calore per serie di Fourier con dato iniziale regolare a tratti eventualmente discontinuo.
  25. Mar 19/11/2013, 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) lezione.
    Rappresentazione di una funzione su R come combinazione lineare (integrale) delle funzioni trigonometriche complesse exp(iax) con a reale: derivazione (formale) di tale rappresentazione tramite il passaggio al limite della rappresentazione in serie di Fourier per funzioni L-periodiche con L che tende a +infinito.
    Definizione precisa della trasformata di Fourier di una funzione L^1.
    La TdF di una funzione L^1 è continua e infinitesima.
  26. Gio 21/11/2013, 14:00-16:00 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli) esercitazione.
    Soluzioni di Fourier dell'equazione del calore e delle onde: caso periodico.
    Foglio IX, es. 1: coefficienti Fourier della soluzione dell'equazione onde; cenno alla mancanza di unicità senza periodicità; esercizio 2b) dato polinomio trigonometrico; 2c) dato iniziale continuo due-periodico regolare a tratti, unicità con C^1_per e C^2; 2d) non omogenea; esercizio; esercizio 3a) uso della formula di d'Alambert, 3b) uso coefficienti di Fourier per l'equazione delle onde.
  27. Ven 22/11/2013, 16:00-18:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Proprietà elementari della trasformata di Fourier: TdF della traslazione, della dilatazione, del prodotto di convoluzione e della derivata (di una funzione C^1 che appartiene a L^1 e la cui derivata appartiene a L^1).
    Regolarità C^1 della TdF di una funzione u tale che u e xu sono in L^1.
    Calcolo della trasformata di exp(-x^2/2) in due modi distinti. Calcolo della trasformata di exp(-|x|).
  28. Sab 23/11/2013, 10:00-12:30 (3 ore, Giovanni Alberti) lezione aggiuntiva su argomento fuori programma.
    Ripasso della teoria base delle funzioni olomorfe e del calcolo degli integrale con il metodo dei residui.
  29. Mar 26/11/2013, 11:00-13:00 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli) esercitazione.
    Soluzioni di Fourier dell'equazione del calore.
    Foglio IX, esercizio 1c: verifica regolarità C^1 su [0;+infinito[ x ]-1;1[.
    Esercizio 12Ex5E6 a, b: limitatezza soluzioni; scrittura della soluzione dell'equazione del calore con dati periodici come convoluzione.
    Esercizio 12C1E6 a, b: la classe dei dati iniziali per cui vi è risolubilità "all'indietro nel tempo" per l'equazione del calore.
  30. Gio 28/11/2013, 14:00-16:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Dimostrazione del teorema di inversione per la trasformata di Fourier su L^1 (e quindi dell'iniettività della stessa). La restrizione della trasformata di Fourier a L^1 intersecato L^2 è un'isometria rispetto alla norma L^2 (a meno di un fattore costante). Corollario: estensione della trasformata di Fourier a L^2.
  31. Ven 29/11/2013, 16:00-18:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Ultimi dettagli e risultati "di contorno" sulla trasformata di Fourier. Trasformata del prodotto di due funzioni L^2; risoluzione dell'equazione del calore su R tramite TdF.
  32. Mar 03/12/2013, 11:00-12:00 (1 ora, Vincenzo Maria Tortorelli) esercitazione.
    Calcolo di trasformate di Fourier, metodo dei residui, identità notevoli. Fogli XII, XIII, XIV.
    Calcolo della trasformata di Fourier di 1/(1+x^2) mediante antitrasformata e quindi diretto con i residui.
    Calcolo della trasformata di x/(1+x^2) prima formale e poi con i residui.
    Cenno se xf in L^2 allora la trasformata di f è integrale di una L^2: analogia con le serie di Fourier.
    XII foglio, esercizio 3. Caso generale degli esempi visti: se P e Q sono polinomi con deg P > deg Q, senza zeri in comune, P senza zeri reali allora P/Q è in L^2 e la sua trasformata è analitica tranne che nell'origine.
  33. Mar 03/12/2013, 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Esercizi sulla trasformata di Fourier (calcolo e altro).
    Disuguaglianza di Heisenberg (dimostrata in un caso particolare).
  34. Gio 05/12/2013, 14:00-16:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Ripasso della nozione di differenziale di una mappa tra spazi Euclidei e delle sue proprietà fondamentali.
    Esempi di calcolo del differenziale senza ricorrere alle derivate parziali in alcuni casi concreti: la funzione determinante e la mappa che ad ogni matrice (invertibile) associa la sua inversa.
    Superfici senza bordo di dimensione d e classe C^k in R^n, e lemma fondamentale sull'equivalenza della definizione per parametrizzazioni (carte locali) e di quella per equazioni locali (lemma solo enunciato).
    Esempi per illustrare la necessità delle varie ipotesi.
  35. Ven 06/12/2013, 16:00-18:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Altri esempi di superfici senza bordo (e di insiemi che non sono superfici).
    Dimostrazione dell'equivalenza delle due definizioni di superficie enunciata nella lezione precedente.
    Definizione di spazio tangente a una superficie.
    Definizione di mappa regolare tra superfici (e caratterizzazione in termini di estensione) e del suo differenziale.
    Definizione di superficie con bordo e della normale esterna al bordo.
  36. Mar 10/12/2013, 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Formula dell'area (per il calcolo del volume d-dimensionale di un sottoinsieme di una superficie d-dimensionale tramite una parametrizzazione). Giustificazione della formula nel caso di mappe affini. Estensione della formula al calcolo degli integrali su una superficie (di una funzione (Boreliana e positiva). Formule alternative per il calcolo del determinante Jacobiano. Teorema di Pitagora generalizzato (calcolo dell'area di un sottoinsieme di un piano in R^3 a partire dalle aree delle proiezioni sui piani coordinati). Applicazioni k-lineari alternanti su uno spazio vettoriale (reale). Notazione e definizione di prodotto esterno (senza verificarne le proprietà algebriche).
  37. Gio 12/12/2013, 14:00-16:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Base dello spazio delle forme k-lineari alternati su V associata canonicamente alla scelta di una base di V, e calcolo dei coefficienti di una forma k-lineare alternate rispetto a questa base. Dimostrazione della formula di Binet generalizzata. Base canonica per le k-forme su R^n ed esempi di calcolo del prodotto esterno.
    Orientazione di uno spazio vettoriale (come classe di equivalenza di basi) e di una superficie. Orientazione di una superficie di codimensione 1 come scelta del vettore normale. Orientazione canonica del bordo di una superficie orientata.
  38. Ven 13/12/2013, 16:00-18:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Definizione di k-forma differenziale su un aperto di R^n e di differenziale (o derivata esterna) di una k-forma. Formula per il differenziale del prodotto di due forme; il differenziale del differenziale è sempre nullo. Pull-back di una forma e sue proprietà. Esempi di calcolo del differenziale e del pull-back.
    Integrazione di una k-forma su una superficie k-dimensionale orientata. Teorema di Stokes (con traccia di dimostrazione).
  39. Mar 17/12/2013, 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione aggiuntiva su argomento fuori programma.
    Definizione di funzione armonica su un aperto come soluzione (di classe C^2) dell'equazione di Laplace (Delta u =0). Proprietà della media sulle palle e sulle sfere per le funzioni armoniche.
    Una funzione continua con la proprietà della media è una funzione armonica di classe C^infinito (dimostrazione limitata al caso in cui il dominio è R^n).
    Principio del massimo e unicità delle funzioni armoniche con dato al bordo assegnato.
  40. Gio 19/12/2013, 14:00-16:00 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione aggiuntiva su argomento fuori programma.
    Conseguenza del principio del massimo per le funzioni armoniche: unicità per le soluzioni (classiche) dell'equazione di Laplace e di Poisson (Delta u =f) su un aperto limitato con dato al bordo assegnato.
    Le funzioni olomorfe e antiolomorfe sono armoniche.
    Ogni funzione armonica definita su un aperto semplicemente connesso del piano si scrive come parte reale di una funzione olomorfa. In particolare ogni funzione armonica in dimensione due è analitica e soddisfa il principio di prolungamento analitico.
    Risoluzione tramite serie di Fourier dell'equazione di Laplace con dato al bordo assegnato sul disco unitario e derivazione della formula integrale di Poisson.