Dati registro

insegnamento: Analisi in più Variabili 2
corso di studi: Matematica (triennale e magistrale)
anno accademico: 2012-2013
docenti: Giovanni Alberti (responsabile) e Vincenzo Maria Tortorelli
codice: 518AA
totale ore: 72 (lezione: 49 ore, esercitazione: 23 ore)
totale ore Giovanni Alberti: 56 (lezione: 49 ore, esercitazione: 7 ore)
totale ore Vincenzo Maria Tortorelli: 16 (esercitazione: 16 ore)

Lezioni

1. Mar 02/10/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti, Vincenzo Maria Tortorelli).
   Presentazione del corso: programma, prerequisiti, testi di riferimento, modalità d'esame. Ripasso delle nozioni fondamentali su misura di Lebesgue ed integrazione di funzioni reali rispetto alla misura di Lebesgue.
2. Gio 04/10/2012 14:00-16:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
   Disuguaglianze di Jensen, Hölder e Minkowski. Definizione dello spazio L^p(E).
3. Ven 05/10/2012 16:00-18:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
   La norma di L^2(E) deriva da un prodotto scalare. Dimostrazione della completezza di L^p(E). Nozioni di convergenza per successioni di funzioni su E: uniforme, puntuale quasi ovunque, in norma L^p, in misura. Relazioni tra queste nozioni, tra cui: una successione che converge in misura ammette una sottosuccessione che converge q.o., una successione che converge q.o. converge uniformemente a meno di un sottoinsieme di misura piccola (teorema di Egorov).
4. Mar 09/10/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
   Esercizi su relazioni tra misurabilità secondo Peano-Jordan e secondo Lebesgue, ovvero tra integrabilità secondo Riemann e secondo Lebesgue, controesempi, "razionali ingrassati". Relazioni tra convergenza in misura, convergenza quasi ovunque e convergenza negli spazi di Lebesgue con diversa sommabilità: esempi e controesempi, non metrizzabilità della convergenza quasi ovunque. Le funzioni Lipschitziane trasformano insiemi di misura nulla in uno spazio euclideo in insiemi di misura nulla nello stesso spazio euclideo. Esercizi 1bc, 3, 9a, 11, 12bcd, 13a della prima lista di esercizi (reperibile all'indirizzo http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/2145.APV2-2013-Es01.pdf).
5. Gio 11/10/2012 14:00-16:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
   Dimostrazione del teorema di Egorov (avanzata dalla lezione precedente). Densità delle funzioni semplici e delle funzioni continue in L^p(E). Teorema di Lusin. Esempi base di spazi di H.: L^2(E) e l^2 (lo spazio delle successioni quadrato-sommabili). Definizione di spazio di Hilbert (reale) e di base di Hilbert. Teorema fondamentale: ogni vettore in uno spazio di Hilbert si scrive come combinazione lineare (infinita) di elementi di una base di H.
6. Ven 12/10/2012 16:00-18:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
   Dimostrazione del teorema fondamentale (avanzata dalla lezione precedente). Le basi di Hilbert coincidono con i sistemi ortonormali massimali. Identità di Parseval, isometria di X e l^2. Costruzione di basi tramite lemma di Zorn e tramite il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Le basi di uno spazio di Hilbert sono numerabili se e solo se lo spazio è separabile. Decomposizione di uno spazio di H. come somma diretta di un sottospazio chiuso e del suo ortogonale. Caratterizzazione della proiezione (di un punto su un sottospazio) come punto del sottospazio di minima distanza dal punto di partenza.
7. Mar 16/10/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
   Conclusione della teoria degli spazi di Hilbert: rappresentazione tramite prodotto scalare dei funzionali lineari e continui più commenti sparsi (esistenza di sottospazi non chiusi e di funzionali lineari non continui). Spazi di Hilbert sul campo complesso: richiamo delle definizioni e delle nozioni fondamentali (teorema della base) senza dimostrazioni. Serie di Fourier. Lo scopo è scrivere una funzione f(x) di periodo 2 pigreco come combinazione lineare delle funzioni exp(inx) con n intero: il calcolo dei coefficienti e la convergenza in L^2 della somma segue del fatto che le funzioni exp(inx) opportunamente rinormalizzate formano una base di Hilbert. La verifica di questo fatto usa il Teorema di Stone-Weierstrass (enunciato ma non dimostrato).
8. Gio 18/10/2012 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
   Esercizi su spazi di Lebesgue ed integrazione dalla prima raccolta di esercizi (reperibile in http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/2150.APV2-2013-Es01.pdf): Esercizi 3b, 5, 17a,b,c, 19 a, 22a,b, 23a, 24a, b, c, d, 25. I funzionali, e in generale gli operatori, lineari definiti su uno spazio normato sono continui se e solo se sono limitati sulla palla unitaria. Estendibilità (univoca) a tutto lo spazio di funzionali ed operatori lineari limitati definiti su un sottospazio denso.
9. Ven 19/10/2012 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
   Esercizi su spazi di Hilbert dalla seconda raccolta di esercizi (reperibili in: http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/2165.APV2-2013-Es02.pdf): esercizi 1a, b, c, d, e, 2a, b, 6a, c, suggerimento per b, 7 una parte, 8a, b, c, 9bc, d. Ripetizione della dimostrazione della densità delle funzioni limitate a supporto di misura finita negli spazi di Lebesgue con esponente di sommabilità finito.
10. Mar 23/10/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Relazione tra i coefficienti di Fourier di una funzione e della sua derivata. Relazioni tra il comportamento asintotico dei coefficienti di una funzione e la regolarità di una funzione (di periodo 2pigreco). Convergenza totale della serie di Fourier di una funzione di classe C^1 e periodo 2pigreco. Ripasso dei vari risultati di convergenza della serie di Fourier (senza dimostrazioni). Serie di Fourier reale.
11. Gio 25/10/2012 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    A) Esercizi su spazi di Hilbert reperibili dalla seconda raccolta. B) Buona definizione di operatori e funzionali limitati ben definiti su un sottospazio denso: digressione per mostrare l'argomento teorico di uniforme continuità non noto ai più. C) Esercizi introduttivi sulle serie di Fourier (il coefficiente di Fourier non dipende dall'intervallo di periodicità su cui si integra; relazioni tra coefficienti complessi e reali; caratterizzazione dei coefficienti per funzioni reali, per funzioni pari, per funzioni dispari).
12. Ven 26/10/2012 16:00-18:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Derivazione dell'equazione del calore in dimensione 1 da principi elementari. Prima applicazione della serie di Fourier: risoluzione formale dell'equazione del calore sull'intervallo [-pigreco, pigreco] con condizioni di periodicità al bordo. Risultati rigorosi: teorema di esistenza e teorema di unicità. Seconda applicazione della serie di Fourier: disuguaglianza isoperimetrica nel piano.
13. Mar 30/10/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Preambolo: cosa si intende per funzioni C^k su un insieme non aperto di R^d? Equazione delle onde: derivazione dell'equazione da principi fisici elementari nel caso di onde longitudinali (approssimazione con sistemi di molle). Risoluzione formale dell'equazione delle onde sull'intervallo [-pigreco, pigreco] con condizioni di periodicità al bordo usando la serie di Fourier. Risultati rigorosi: teorema di esistenza delle soluzioni, e teorema di unicità.
14. Ven 02/11/2012 09:00-11:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Lezione "fuori programma": ripasso delle nozioni fondamentali di analisi complessa che verranno usate nel corso. Differenziabilità in senso complesso ed equazioni di Cauchy-Riemann. Integrazione di 1-forme complesse su curve C^1 (a tratti); la forma f(z)dz è chiusa se e solo se f è olomorfa; formula integrale di Cauchy. Sviluppo di Laurent e classificazione delle singolarità. Nozione di residuo e teorema dei residui. Esempi di calcolo di integrali tramite il teorema dei residui.
15. Ven 02/11/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    Esercizi introduttivi alle serie di Fourier (reperibili in http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=624&id_sede=2&id_tipo=3): esercizi: 1, 2acdf, 3abc, 4.
16. Mar 06/11/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    Esercizi di interesse generale su serie di Fourier e finalizzati all'applicazione per la soluzione di problemi ai dati iniziali con condizioni al bordo per l'equazione del calore e delle onde Dal terzo gruppo di esercizi (reperibili in http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=624&id_sede=2&id_tipo=3): esercizi 6bc, 8ad, 10, 11a, 16bc.
17. Gio 08/11/2012 14:00-16:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Rappresentazione della soluzione dell'equazione delle onde (con condizioni di periodicità al bordo) come differenza di due onde viaggianti. Seconda dimostrazione del teorema di esistenza per l'equazione delle onde. Varianti della serie di Fourier: serie reale (in seni e coseni) su [-pigreco, pigreco], serie in seni su [0, pigreco]. Applicazioni lineari auto-aggiunte e basi ortonormali; la derivata seconda (definita sulle funzioni C^2 su [0, pigreco] nulle agli estremi) è auto-aggiunta; la derivata seconda (definita sulle funzioni C^2 su [-pigreco, pigreco] con condizioni di periodicità agli estremi) è auto-aggiunta (ma attenzione! la derivata seconda non è sempre auto-aggiunta). Prodotto di convoluzione per funzioni positive su R^d.
18. Ven 09/11/2012 16:00-18:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Prodotto di convoluzione di funzioni in R^d. Esistenza del prodotto f*g nei seguenti casi: f in L^p e g in L^1; f in L^p e g in L^q con p e q coniugati (in questo caso si dimostra che il prodotto è continuo e infinitesimo all'infinito). Prodotto di convoluzione e derivata (solo in dimensione 1). Approssimazione tramite nucleo di convoluzione in L^1. Approssimazione e regolarizzazione tramite nuclei di convoluzione regolari (nuclei regolarizzanti).
19. Mar 13/11/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    Esercizi sull'uso delle serie di Fourier per soluzione di problemi ai dati iniziali per l'equazione del calore con dati periodici ed eventuali discontinuità. Dal terzo gruppo di esercizi: esercizi 17, 18a,b, e, f (reperibili in http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=624&id_sede=2&id_tipo=3).
20. Gio 15/11/2012 14:00-16:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Convoluzione per funzioni su R di periodo 2pigreco. Rappresentazione della somma parziale m-esima della serie di Fourier di una funzione f come convoluzione di f con il nucleo di Dirichlet. Rappresentazione di una funzione f(x) su R (non periodica) come combinazione integrale delle funzioni exp(iyx) con y in R: derivazione formale a partire dalla rappresentazione in serie di Fourier di una funzione periodica. Definizione di trasformata di Fourier per funzioni in L^1(R). La TdF è continua e infinitesima all'infinito (lemma di Riemann-Lebesgue). Proprietà fondamentali della TdF: formule per la trasformata di a) f composta con una traslazione, f) f composta con un omotetia, c) f moltiplicata per exp(ihx), d) derivata di f, e) -ixf, f) prodotto di convoluzione di f e g.
21. Ven 16/11/2012 16:00-17:00 (1:0 h) esercitazione (Giovanni Alberti).
    Calcolo della trasformata di Fourier delle seguenti funzioni: 1/(1+x^2) (calcolata con il metodo dei residui); exp(-|x|) (calcolo diretto), gaussiana centrata in 0 di varianza 1 (sia calcolo diretto che usando il fatto che questa funzione soddisfa l'equazione u'-xu=0).
22. Ven 16/11/2012 17:00-18:00 (1:0 h) lezione (Giovanni Alberti).
    Dimostrazione del formula per la TdF del prodotto di convoluzione. Definizione di anti-trasformata F*. Teorema fondamentale della trasformata di Fourier: se f è in L1 e la trasformata F f è in L^1, allora F* F f = 2pigreco f (formula di inversione). Dimostrazione della formula di inversione.
23. Mar 20/11/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    Esercizi su: serie in seni ed esempi di problema di Dirichlet omogeneo per l'equazione del calore, rudimenti sulla trasformata di Fourier. Esercizi dal terzo gruppo: 20a,d,f, 21 a (semplificato dato iniziale sin 2x), b.Lasciati agli studenti gli esercizi simili per l'equazione delle onde. Problema agli autovalori per la derivata seconda con condizioni di Dirichlet. Riflessione sull'argomento: candidate derivate seconde derivabili a tratti discontinue e con serie di Fourier e coefficienti di quadrato sommabile. Riguardo le trasformate di Fourier: dimostrazione del lemma di Riemann-Lebesgue; trasformata della caratteristica di un intervallo simmetrico e analogia con il nucleo di convoluzione per le serie di Fourier; trasformata di Fourier di 1/(4+x^4).
24. Gio 22/11/2012 14:00-16:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Avanzato dalla lezione precedente: la TdF individua univocamente la funzione. Identità di Parseval per le funzioni in L^1 intersecato L^2 e estensione della TdF allo spazio L^2. Estensione a L^2 di alcune proprietà della TdF in L^1. Per le funzioni f di classe C^1 tale che f è in L^1 e f' è in L^2 la TdF appartiene a L^1 e quindi vale la formula di inversione. Calcolo della TdF di x/(1+x^2) come integrale improprio (con il metodo dei residui) e derivando la trasformata di 1/(1+x^2).
25. Ven 23/11/2012 16:00-17:00 (1:0 h) esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esercizi sulla trasformata di Fourier.
26. Ven 23/11/2012 17:00-18:00 (1:0 h) lezione (Giovanni Alberti).
    Due applicazioni della trasformata di Fourier: derivazione della formula risolutiva dell'equazione del calore in R tramite il nucleo del calore (con dimostrazione della continuità in t=0 e della regolarità per t>0 della soluzione così ottenuta). Disuguaglianza di Heisenberg per funzioni L^2 (con dimostrazione parziale).
27. Mar 27/11/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Ultimi dettagli sulla trasformata di Fourier: definizione di TdF per funzioni L^1 in più variabili; la TdF trasforma equazioni differenziali lineari (a coefficienti costanti) in equazioni algebriche; esempio: risoluzione (formale) dell'equazione di Laplace in R^d. Definizione di differenziale in un punto per una mappa tra (aperti di) spazi euclidei; principali proprietà del differenziale. Calcolo del differenziale della mappa f(X):= det(X) con X matrice n x n, e della mappa f(x) := X^{-1} con X matrice n x n invertibile. Definizione di superficie (senza bordo) di dimensione d e classe C^k in R^n. Proposizione chiave (solo enunciata): l'esistenza di una "buona" parametrizzazione locale equivale all'esistenza di una "buona" equazione locale.
28. Gio 29/11/2012 14:00-16:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Richiamo della definizione di superficie di dimensione d in R^n. Osservazioni. Il ruolo delle ipotesi sul rango (per l'equazione e per la parametrizzazione). Esempi di superfici, ed esempi di oggetti che non sono superfici secondo questa definizione. Ipotesi equivalenti (e più facilmente verificabili) all'ipotesi di omeomorfismo locale per una parametrizzazione. Lemma di estensione delle parametrizzazioni. Dimostrazione della proposizione chiave enunciata alla fine della lezione precedente.
29. Ven 30/11/2012 16:00-18:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Alcune proprietà e caratterizzazioni dello spazio tangente ad una superficie in un punto. Definizione di mappa regolare, cioè di classe C^k, tra superfici di classe C^k. Estendibilità locale delle mappe regolari ad un aperto dello spazio ambiente di partenza. Definizione del differenziale di una mappa di classe C^1, proprietà fondamentali e caratterizzazione in termini dell'estensione locale.
30. Mar 04/12/2012 11:00-12:00 (1:0 h) lezione (Giovanni Alberti).
    Complementi di teoria delle superfici: teorema di inversione locale per mappe C^1 tra superfici; partizioni dell'unità; teorema di estensione globale (una mappa definita su una superficie si estende ad un intorno aperto).
31. Mar 04/12/2012 12:00-13:00 (1:0 h) esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esercizi su superfici e spazi tangenti.
32. Gio 06/12/2012 14:00-15:00 (1:0 h) esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esercizi su superfici e spazi tangenti (tra gli altri: O(n) è una superficie regolare nello spazio delle matrici n x n; la curva di equazione x^2=y^3 in R^2 non è regolare, la superficie in C^2 definita dalla stessa equazione non è regolare).
33. Gio 06/12/2012 15:00-16:00 (1:0 h) lezione (Giovanni Alberti).
    Superfici con bordo: definizioni, esempi, e proprietà essenziali (senza dimostrazioni).
34. Ven 07/12/2012 16:00-18:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Definizione di determinate Jacobiano di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione d con prodotto scalare; calcolo dello Jacobiano nel caso in cui lo spazio di partenza è R^d; formula di Binet per l'espressione dello Jacobiano in termini dei minori d x d della matrice associata. Integrazione su superfici: definizione del volume d-dimensionale per (sottoinsiemi di) superfici di dimensione d in R^n tramite formula dell'area e parametrizzazioni.
35. Mar 11/12/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Orientazione di uno spazio vettoriale e di una superficie. Orientazione delle superfici di co-dimensione uno tramite la scelta di un versore normale. Il nastro di Moebius non è orientabile (con parziale giustificazione). Il problema dell'orientabilità come un problema di sollevamento. Orientazione canonica del bordo di una superficie. Applicazioni k-lineari alternanti su uno spazio vettoriale V; definizione del prodotto esterno di applicazioni alternanti e proprietà fondamentali.
36. Gio 13/12/2012 14:00-16:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Lemma fondamentale sulle applicazioni k-lineari alternanti e sue conseguenze: formula di Binet, base canonica dello spazio delle applicazioni k-lineari alternanti su V associata alla scelta di una base di V. Rappresentazione in termini della base e calcolo effettivo del prodotto esterno. Unicità (a meno di costanti) della restrizione di un'applicazione k-lineare alternante ad un sottospazio k-dimensionale di V. Definizione di k-forma su un aperto di R^n; differenziale (esterno) di una k-forma.
37. Ven 14/12/2012 16:00-18:00 (2 ore) lezione (Giovanni Alberti).
    Proprietà fondamentali del differenziale di una k-forma. Integrazione di una k-forma su una superficie k-dimensionale. Enunciato del teorema di Stokes: l'integrale di una (k-1)-forma sul bordo di una superficie S orientata e compatta e uguale all'integrale del differenziale della forma su S. Definizione di pull-back secondo un'applicazione lineare di un'applicazione k-lineare alternate. Definizione di pull-back secondo una mappa C^1 di una k-forma. Proprietà fondamentali del pull-back (in particolare in relazione al prodotto esterno e al differenziale). Dimostrazione del teorema di Stokes.
38. Mar 18/12/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esercizi e complementi: un'estensione del fatto (noto) che il differenziale del differenziale è nullo; esempi di applicazioni k-lineari alternanti non semplici. Forme esatte e forme chiuse: le forme esatte sono chiuse, una forma è chiusa se e solo se è localmente esatta, una forma chiusa su un insieme stellato è esatta (senza dimostrazione), esempi di forme chiuse ma non esatte. Definizione dell'operatore di Hodge in un caso particolare (quello che porta 1-forme in (n-1)-forme) e derivazione del teorema della divergenza dal teorema di Stokes.
39. Mer 19/12/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione, in sostituzione di quella di venerdì 21 dicembre (Giovanni Alberti).
    Funzioni armoniche su un parto di R^n, definite come funzioni di classe C^2 che soddisfano l'equazione di Laplace. Una funzione armonica ha la proprietà della media sulle sfere; la proprietà della media sulle sfere equivale a quella sulle palle; le funzioni continue con la proprietà della media sono regolari (C^infinito) e armoniche. Principio del massimo e sue conseguenze: principio del confronto e unicità delle soluzioni dell'equazione di Laplace con dato al bordo assegnato.
40. Gio 20/12/2012 14:00-15:00 (1 ora) lezione (Giovanni Alberti).
    Le funzioni olomorfe sono armoniche. Ogni funzione armonica su un aperto di C semplicemente connesso coincide con la parte reale di una funzione olomorfa. ne segue il principio del prolungamento analitico per le funzioni armoniche in dimensione due. Risoluzione dell'equazione di Laplace con dato al bordo assegnato quando il dominio è il disco unitario di R^2 tramite nucleo di Poisson (derivazione della formula dall'espansione in serie di Fourier del dato al bordo).
41. Gio 20/12/2012 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esercizi e complementi sulla teoria delle funzioni armoniche. Tra questi: risoluzione dell'equazione di Laplace sul semipiano con dato al bordo assegnato tramite nucleo di Poisson (con due derivazioni differenti della formula); teorema di Liouville per le funzioni armoniche definite su tutto R^n.