Dati registro

insegnamento: Analisi Matematica I
corso di studi: Ingegneria Gestionale (triennale)
anno accademico: 2012-2013
docenti: Giovanni Alberti (responsabile) e Vincenzo Maria Tortorelli
codice: 004AA
totale ore: 109 (lezione: 53 ore, esercitazione: 56 ore)
totale ore Giovanni Alberti: 68 (lezione: 51 ore, esercitazione: 17 ore)
totale ore Vincenzo Maria Tortorelli: 43 (lezione: 4 ore, esercitazione: 39 ore)

Lezioni
  1. Mer 26/09/2012 09:30-11:30 (2 ore, Giovanni Alberti, Vincenzo Maria Tortorelli), lezione.
    Presentazione del corso: docenti, programma del corso, prerequisiti, cosa bisogna saper fare alla fine, libri di testo, mailing list e pagina web del corso, modalità d'esame. Svolgimento di alcuni esercizi di verifica delle conoscenze di base.
  2. Mer 26/09/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Ripasso delle nozioni di base sui grafici delle funzioni elementari: funzioni lineari, potenze, esponenziali, logaritmo (in base e). Operazioni sui grafici: dato il grafico di f(x) ed un numero positivo a, disegnare il grafico di f(x+a), f(x-a), a f(x), -f(x), f(-x). Svolgimento di alcuni esercizi.
  3. Gio 27/09/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Prima ora presentazione del corso di studio da parte del presidente del consiglio di CdS G. Dini. Seconda ora esercizi di ripasso su domini di definizione, equazioni algebriche e trigonometriche, disequazioni e loro interpretazioni grafiche qualitative: primi tre esercizi a pagina 2 del primo gruppo di esercizi (reperibile in www.dm.unipi.it/~alberti/files/didattica/12-13_An1Gest/VMT-esercizi1.pdf).
  4. Ven 28/09/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Ripasso delle nozioni di base di trigonometria. Definizione di seno, coseno e tangente. Relazioni fondamentali (con cenno di dimostrazione), formula per il seno ed il coseno della somma di due angoli (senza dimostrazione). Grafici delle funzioni seno, coseno e tangente.
  5. Sab 29/09/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Terminologia di base sulle funzioni: dominio, codominio, immagine, funzioni iniettive e suriettive (con interpretazione in termini di grafici). Funzione inversa. Condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza della funzione inversa. Esempi: inverse delle funzioni ax+b, e^x, x^2, sin x, cos x, tan x (negli ultimi quattro esempi l'inversa esiste solo a patto di restringere la funzione ad opportuni sottoinsiemi del dominio di definizione). Definizione astratta di funzione.
  6. Mer 03/10/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Esercizi su disequazioni e loro interpretazione grafica, richiamo della formula della distanza di un punto da una retta, richiami di trigonometria, formula per la differenza di potenze ad esponente intero di due enumeri, grafici basati su grafici elementari; terzo e quarto esercizio di pagina 2, secondo esercizio di pagina 4 del primo foglio di esercizi (reperibile in: www.dm.unipi.it/~alberti/files/didattica/12-13_An1Gest/VMT-esercizi1.pdf).
  7. Mer 03/10/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Funzioni crescenti e decrescenti (in senso stretto oppure no). Osservazioni sparse sulle funzioni inverse: risoluzione dell'equazione f(x)=a e della disequazione f(x) < a (oppure f(x) > a) nel caso di f crescente o decrescente, grafici di log x e radice di x (ottenuti partendo da quello di e^x e x^2 rispettivamente), grafici di arcsin x, arccos x, arctan x. Esercizi sui grafici di funzioni: dato il grafico di f(x) disegnare quello di -f(-x), |f(x)| e f(|x|) (lasciato da fare per casa). Altri esercizi sui grafici di funzioni.
  8. Gio 04/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), esercitazione.
    Esercizi sui grafici di funzioni (disegnare il grafico di una funzione elementare, disegnare insiemi di punti del piano definiti da equazioni o disequazioni, risolvere graficamente un'equazione o una disequazione, trovare una formula compatibile con un dato grafico).
  9. Ven 05/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Numeri naturali, interi, razionali e reali. Perché i razionali non bastano e servono i reali (irrazionalità della radice quadrata di 2). Espansione decimale dei numeri reali. Caratterizzazione dei numeri razionali come quelli con espansione decimale periodica.Definizione di massimo e di estremo superiore di un insieme A di numeri reali. Completezza dei numeri reali: ogni insieme A non vuoto e limitato superiormente ammette un estremo superiore. Definizione rigorosa di limite di una successione di numeri reali.
  10. Sab 06/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Esercizi su disegno di grafici a partire da grafici elementari, in evidenza il disegno dei grafici di |f(x)|, f(|x|), f(|x| -c) a partire da quello di f(x). Riconoscere figure piane quali grafici, riconoscere l'iniettività di funzioni a partire dai loro grafici e grafici delle inverse; trovare formule compatibili con un dato grafico; definizione di una funzione per casi; restrizione di una funzione a un sottodominio; somme geometriche di ragione strettamente compresa tra -1 ed 1 e loro limite. Secondo e terzo esercizio di pagina 4, ed esercizi di pagina 5 del primo foglio di esercizi (reperibile in www.dm.unipi.it/~alberti/files/didattica/12-13_An1Gest/VMT-esercizi1.pdf). Terzo e ultimo esercizi a pagina 1 del secondo foglio di esercizi.
  11. Mer 10/10/2012 09:30-10:30 (1 ora, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Grafico di f(x)= arcsin(sin x), impostazione dello studio del grafico di arcsin(cos x). Come derivare dall'assioma di completezza l'illimitatezza dei numeri naturali. La successione 1/n risulta quindi infinitesima. Limiti e diseguaglianze: se B>1 e x > 1/(B-1) allora Bx> x+1 quindi B^n > n+c. Se |a|<1 la successione a^n è infinitesima. Somma geometrica infinita. Allineamenti decimali 0,999... e 0,0..010..01.. con le somme geometriche. Calcolo di estremi superiori ed estremi inferiori.
  12. Mer 10/10/2012 10:30-11:30 (1 ora), lezione non tenuta per sospensione didattica per assemblea degli studenti.
  13. Mer 10/10/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Definizione formale di limite di una successione (reprise) e di limite di una funzione (in un punto di accumulazione del dominio). Limiti delle funzioni elementari. Esempi di successioni e di funzioni per cui il limite non esiste. Definizione formale di funzione continua.
  14. Gio 11/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), esercitazione.
    Definizione di funzione continua (reprise); tutte le funzioni costruite a partire da funzioni elementari sono continue nel dominio di definizione. Esercizi sui limiti di funzioni: dare esempi di (sotto forma di disegni) di funzioni con certi limiti, limiti da calcolare usando il grafico della funzione, limiti da calcolare sulla base dei limiti delle funzioni note e di poche regolare elementari (non dimostrate). Esempi di limiti problematici ("forme indeterminate").
  15. Ven 12/10/2012 10:30-11:30 (1 ora, Giovanni Alberti), lezione.
    Definizione di derivata come limite del rapporto incrementale. Motivazione geometrica: la derivata è la pendenza della retta tangente al grafico. Motivazione fisica: la velocità è la derivata dello spostamento (il vettore velocità è la derivata del vettore posizione). Esempi di funzioni non derivabili. Calcolo di alcune derivate partendo dalla definizione. Procedura effettiva per il calcolo delle derivate: tabella delle derivate delle funzioni elementari e insieme di regole di derivazione.
  16. Ven 12/10/2012 11:30-12:30 (1 ora, Giovanni Alberti), esercitazione.
    Esercizi sul calcolo delle derivate.
  17. Sab 13/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Dimostrazione di tutte le regole per il calcolo delle derivate e di tutte le formule per le derivate delle funzioni elementari date nella lezione precedente.
  18. Mer 17/10/2012 09:30-11:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Teorema di Lagrange (con dimostrazione geometrica). Derivate se proprietà geometriche dei grafici di funzioni: se una funzione ha derivata positiva su un intervallo allora è crescente (dimostrazione sia geometrica che analitica, tramite il teorema di Lagrange). Viceversa una funzione crescente ha derivata positiva. Derivata strettamente positiva e funzioni strettamente crescenti. Funzioni decrescenti. Definizione di punti di massimo e di minimo sia assoluti che locali (o relativi). Il teorema di Weierstrass sull'esistenza dei punti di massimo e di minimo (senza dimostrazione). Nei punti di massimo e minimo locale interni la derivata, se esiste, vale zero (con dimostrazione sia geometrica che analitica). Procedura per la ricerca dei punti di massimo e minimo di una funzione derivabile.
  19. Mer 17/10/2012 14:30-15:30 (1 ora, Giovanni Alberti), lezione.
    Definizione geometrica di funzione convessa su un intervallo, e definizione analitica. Se la derivata seconda di una funzione è positiva allora la derivata prima è crescente e quindi la funzione è convessa (con dimostrazione); viceversa se una funzione è convessa allora la derivata prima è crescente (con dimostrazione), e la derivata seconda è positiva. Enunciato degli analoghi risultati per le funzioni concave.
  20. Mer 17/10/2012 15:30-16:30 (1 ora, Giovanni Alberti), esercitazione.
    Esercizi sulla ricerca dei punti di massimo e minimo, e sul disegno del grafico di una funzione.
  21. Gio 18/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Esercizi su limiti, derivate, studio di diseguaglianze e grafici, tratti dal terzo foglio di esercizi (reperibile in: http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/2168.INGA-es3-4.pdf). Primi tre punti di pagina 1; tutta pagina 2 tranne l'ultimo e il quartultimo punto; pagina 3, quarto e quinto punto.
  22. Ven 19/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli in compresenza con la dottoressa Annalisa Massaccesi), esercitazione.
    Assistenza e consulenza agli studenti che affrontano la prova di autovalutazione.
    (Testo reperibile in http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/2170.INGA-modificatoGio.pdf).
  23. Sab 20/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Soluzione pubblica dei quesiti proposti per la prova di autovalutazione del giorno precedente.
  24. Mer 24/10/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Esercizi su limiti e studi di funzione (reperibili in http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/2168.INGA-es3-4.pdf e in http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/2178.INGA-es4.pdf) Terz'ultimo esercizio, terza pagina del terzo foglio di esercizi. Quarto foglio di esercizi: esercizi B1a, B2 (pagina 1), esercizi C1, 2, 3, 4, 5 iniziati a svolgere dagli studenti con la collaborazione del docente.
  25. Mer 24/10/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Nozioni utili per il confronto di due funzioni in prossimità di un punto dato: equivalenza asintotica, nozione di funzione trascurabile rispetto ed un altra, notazione di Landau ("o piccolo" e "O grande"). Esempio di uso di queste notazioni nel calcolo dei limiti (principio di sostituzione di infiniti e infinitesimi). Teorema dello sviluppo di Taylor di una funzione in 0 (solo enunciato).
  26. Gio 25/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Esercizi su studi di funzione, limiti, disuguaglianze e sviluppi di Taylor (reperibili in http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/2178.INGA-es4.pdf). Soluzione pubblica esercizi iniziati dagli studenti nella precedente esercitazione. Dal quarto foglio di esercizi: C1, 2, 3, 4, 5, D6a (variante impegnativa aggiungendo 1 al secondo membro), D6d, esercizio 7a,b. Calcolo degli svilupi di Taylor dell'esponenziale, di seno e coseno del logaritmo di (1+x). Illustrazione grafica dell'approssimazione di Taylor; risoluzione dell'esercizio D6d con polinomi di Taylor e resto di Lagrange. Resto di Lagrange.
  27. Ven 26/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Ricapitolazione di quanto detto nella lezione precedente. Teorema di Cauchy (con dimostrazione). Dimostrazione del teorema sullo sviluppo di Taylor (con resto di Lagrange). Caratterizzazione del polinomio di Taylor in termini della decomposizione f(x) = P (x) + o(x^d).
  28. Sab 27/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), esercitazione.
    Verifica delle varia proprietà del resto nello sviluppo di Taylor. Calcolo dello sviluppo di Taylor delle seguenti funzioni elementari: e^x, sin x, cos x, log(x+1), (1+x)^a, 1/(1+x), 1/(1-x). Esempi di uso dello sviluppo di Taylor: calcolo di un limite, calcolo approssimato del valore di una funzione (l'esponenziale) in un punto.
  29. Mer 31/10/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Esercizi su diseguaglianze risolte con problemi di minimo e confronto di derivate, approssimazione con razionali di valori di funzioni trascendenti mediante l'uso dei polinomi di Taylor, uso della notazione di Landau ("o piccolo" e "o grande") nell'utilizzo del polinomio di Taylor per la risoluzione di limiti. Unicità del polinomio di Taylor e suo uso per il calcolo di polinomi di Taylor di funzioni composte. Dal quarto gruppo di esercizi: esercizi D6bc, 8ab, 9a E11 primi due punti. Esercizi su richiesta degli studenti.
  30. Mer 31/10/2012 14:30-15:30 (1 ora, Giovanni Alberti), lezione.
    Ultimi dettagli sugli sviluppi di Taylor: sviluppo di un polinomio, sviluppo di (1+x)^n, formula del binomio di Newton. Notazione compatta per la somma. Parte principale di una funzione per x che tende a 0 o all'infinito; calcolo delle parti principali usando gli sviluppi di Taylor.
  31. Mer 31/10/2012 15:30-16:30 (1 ora, Giovanni Alberti), esercitazione.
    Esercizi sul calcolo delle parti principali di funzioni (per x che tende a 0).
  32. Mer 07/11/2012 10:30-11:30 (1 ora, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Esercizi su parti principali e notazione di Landau (reperibili in http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3): dal quarto gruppo di esercizi, pagina 7: 14 primo punto, 15, 16, 17 primo punto.
  33. Mer 07/11/2012 14:30-15:30 (1 ora, Giovanni Alberti), lezione.
    Teorema di de l'Hopital, con dimostrazione in un caso particolare. Confronto delle funzioni log x, x^a (potenze) e b^x (esponenziali) per x che tende all'infinito. Confronto di log x e x^(-a) (potenze negative) per x che tende a zero.
  34. Mer 07/11/2012 15:30-16:30 (1 ora, Giovanni Alberti), esercitazione.
    Esercizi sui limiti basati sui confronti delle funzioni fondamentali all'infinito e in zero.
    Esercizi sui limiti con l'uso di parti principali e sviluppi di Taylor.
  35. Gio 08/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), esercitazione.
    Esercizi sul calcolo di limiti e delle parti principali sia per x che tende a 0 che per x che tende all'infinito.
  36. Ven 09/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Definizione di integrale (definito) di una funzione positiva come area del sottografico, definizione di integrale per una funzione qualunque. Approssimazione dell'integrale con somme finite (somme di Riemann), e stima dell'errore in termini del massimo del valore assoluto della derivata. Un'interpretazione fisica dell'integrale: lo spazio percorso da un oggetto è uguale all'integrale della velocità v(t). Definizione di primitiva di una funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale: data una funzione f su [a,b] con primitiva F, l'integrale di f tra a e b è uguale a F(b)-F(a). Uso del teorema fondamentale per il calcolo esatto degli integrali.
  37. Sab 10/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Calcolo di integrali e primitive. Elenco delle primitive di alcune funzioni elementari (con verifica) e regole fondamentali (tutte dimostrate): formula per la primitiva (e l'integrale) della somma e della differenza di due funzioni, e del prodotto di una funzione per una costante. Formula di integrazione per parti, formula di cambio di variabile. Alcuni esempi di uso di queste regole.
  38. Mer 14/11/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli in compresenza con la dottoressa Annalisa Massaccesi), esercitazione.
    Illustrazione del metodo per l'integrazione delle funzioni razionali, esercizi svolti dai docenti, ed esercizi svolti dagli studenti su ricerca di primitive e calcolo di integrali: casi elementari di sostituzione, integrazione per parti, esempi di integrazione di razionali con varia complessità di calcolo.
    (Materiale reperibili in http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3). Dal quinto gruppo di esercizi e dalle note dottoressa Massaccesi: pagina 4, es. 1, es. 2 prima riga; pagine 6, 7.
  39. Mer 14/11/2012 14:30-15:30 (1 ora, Giovanni Alberti), lezione.
    Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo delle aree: l'area di una figura piana è uguale all'integrale delle lunghezza delle sezioni (formula parzialmente giustificata). Verifica della formula per l'area della cerchio.
  40. Mer 14/11/2012 15:30-16:30 (1 ora, Giovanni Alberti), esercitazione.
    Esercizi sul calcolo delle aree.
  41. Gio 15/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Calcolo dei volumi: il volume di una figura solida è uguale all'integrale delle aree delle sezioni (formula parzialmente giustificata). Principio di Cavalieri. Verifica della formula per il volume della sfera e per il volume di un cono con base qualunque. Formula per il volume di un solido di rotazione. Alcuni esempi di calcolo del volume.
  42. Ven 16/11/2012 10:30-11:30 (1 ora, Giovanni Alberti), lezione.
    Lunghezza di una curva nel piano, intesa come distanza percorsa da un punto in movimento di coordinate x(t) e y(t). Lunghezza del grafico di una funzione. Esempi di calcolo delle lunghezze. Esercizi sul calcolo delle aree.
  43. Ven 16/11/2012 11:30-12:30 (1 ora, Giovanni Alberti), esercitazione.
    Esercizi sul calcolo delle aree tramite integrali.
  44. Sab 17/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.Esercizi su integrali (materiale reperibile in http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3). Dal quinto gruppo di esercizi: esercizio 1, settima, ottava; esercizio 2 prima, terza, quarta, quinta, ottava; esercizio 3 prima, seconda; esercizio 4, quinta; esercizio 6, seconda parte; esercizio 7.
  45. Mer 21/11/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli in compresenza con la dottoressa Annalisa Massaccesi), esercitazione.
    Funzioni iperboliche: motivazione ed integrazione di radici di somme di quadrati. Integrali per il calcolo di volumi per sezione e per il calcolo di lunghezze. Dal quinto gruppo di esercizi (reperibile in http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3): esercizio 4, terzo integrale. Dal sesto gruppo di esercizi: paragrafi A], B], C], esercizio 1, 2, 3, 5.
  46. Mer 21/11/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Integrali impropri "semplici" tra a e b di una funzione f(x). Casi di riferimento: b = +infinito, oppure f(x) continua su [a,b) ma non definita in b. Esempi. Definizione dell'integrale improprio come area del sottografico (nel caso di funzioni positive) o in alternativa come il limite per m che tende a b degli intgrali di f(x) tra a e m. Tale limite esiste sempre se f(x) è positiva. Esempi d calcolo di integrali impropri, inclusi alcuni esempi chiave (integrale tra 1 e +infinito di 1/x^a e d 1/e^x, integrale tra 0 e 1 di 1/x^a).
  47. Gio 22/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Ricapitolazione veloce di quanto detto fino ad adesso sugli integrali improprio "semplici" tra a e b, cioè impropri solo ad un estremo dell'intervallo di integrazione (per convenzione l'estremo superiore b). Il comportamento dell'integrale improprio (esistenza/non esistenza/finitezza) non cambia se si cambia l'altro estremo di integrazione (con dimostrazione); per le funzioni positive, o positive "vicino a b", l'integrale improprio esiste sempre ma può essere +infinito (con dimostrazione). Per le funzioni a segno variabile può succedere che l'integrale improprio, inteso come limite, non esista. Criteri di finitezza per gli integrali impropri di funzioni positive, o positive "vicino a b": criterio del confronto e del confronto asintotico (con dimostrazione). Alcuni esempi.
  48. Ven 23/11/2012 10:30-11:30 (1 ora, Giovanni Alberti), lezione.
    Conclusione della teoria degli integrali impropri: l'integrale (improprio ad un estremo) di una funzione f(x) a segno variabile esiste ed è finito se l'integrale improprio del valore assoluto |f(x)| è finito (giustificazione geometrica). Gli integrali impropri in più di un punto, o in un punto interno all'intervallo di integrazione, vanno calcolati spezzandoli come somme di integrali impropri "semplici".
  49. Ven 23/11/2012 11:30-12:30 (1 ora, Giovanni Alberti), esercitazione.
    Esempi di calcolo di integrali impropri non semplici per scomposizione in integrali impropri semplici: integrale tra -1 e 1 di 1/x e 1/x^2, integrale tra 0 e +infinito di 1/x, 1/x^2, e 1/(x log x).
  50. Sab 24/11/2012 10:30-11:30 (1 ora, Giovanni Alberti), esercitazione.
    Esercizi sugli integrali impropri (semplici e non) e in particolare sull'integrale di 1/(x log(x)) e 1/(x log^a(x)) tra 0 e 1/2 e tra 2 e +infinito. Calcolo di un'area tramite integrale improprio.
  51. Sab 24/11/2012 11:30-12:30 (1 ora, Giovanni Alberti), esercitazione.
    Svolgimento di esercizi su parti principali e limiti proposti dai presenti.
  52. Mer 28/11/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli in compresenza con la dottoressa Annalisa Massaccesi), esercitazione.
    Integrazione in senso improprio e sommabilità. Esercizi su coinvergenza di integrali su domini eventualmente illimitati e per funzioni eventualmente illimitate tratti dal settimo foglio di esercizi (reperibile in: http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3). A scelta una decina di temi dal primo esercizio del gruppo.
  53. Mer 28/11/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Serie (o somme infinite) di numeri reali. Definizione di serie come limite (se esiste) della successione delle somme parziali. Esempio fondamentale: la serie geometrica (somma di a^n per n da 0 e infinitio, con a numero reale assegnato). Il comportamento della serie (convergenza/divergenza a + o - infinito/non convergenza) non cambia se si cambiano i termini iniziali della serie. Per le serie convergenti il termine della serie tende a 0. Le serie a termini positivi ammettono solo due comportamenti: o convergono a un numero finito o divergono a +infinito. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto e confronto asintotico (senza dimostrazione); criterio dell'integrale (con dimostrazione); comportamento della serie di 1/n^a al variare dell'esponente a.
  54. Gio 29/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Esercizi su integrali impropri e sommabilità: onda "quadra" di ampiezza illimitata non negativa ed area finita (strizzamento dei picchi piuttosto che avvicinamento agli assi) integrande di segno variabile oscillanti eventualmente smorzate.
    Esercizi tratti dal settimo gruppo di esercizi (reperibile in: http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3): temi dal primo e secondo esercizio, settimo esercizio parte a.
  55. Ven 30/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Criterio del rapporto per serie a termini positivi (con dimostrazione). La serie di Taylor di exp(x) converge alla funzione (con dimostrazione). Conseguenze di questo fatto: definizione del numero e (costante di Nepero) come serie, definizione di exp(z) con z complesso come serie, "dimostrazione" dell'identità exp(ix) = cos(x) + i sin(x). Espressione di pigreco/4 come serie a partire dall'integrale tra 0 e 1 della funzione 1/(1+x^2) (senza giustificazione rigorosa).
  56. Sab 01/12/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Esercizi su somme ricorrenti e serie definitivamente di segno costante: parallelo con gli integrali impropri confronto, confronto asintotico, diseguaglianze, parti principali e sviluppi. Dall'ottavo gruppo di esercizi (reperibile in http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3): esercizio 1, esercizio 2a, b, c, d esercizo 3, esercizio 4 a, esercizio 6 serie:prima, seconda, terza, quarta e quinta.
  57. Mer 05/12/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli in compresenza con la dottoressa Annalisa Massaccesi), esercitazione.
    Esercizi sulla convergenza di serie usando assoluta convergenza, confronto asintotico e sviluppi. Relazione tra comportamento di integrale e serie con integranda ovvero termine generale monotono. Esercizi sull'uso del criterio della radice. Su richiesta degli studenti breve esposizione dell'argomento per provare la densità nell'intervallo tra -1 ed 1 dei valori della successione sin(n). Parte degli esercizi svolti dal docente parte dagli studenti in modo assistito. Dall'ottavo gruppo di esercizi: esercizio B6: serie quinta, sesta, settima, ottava, undicesima, diciottesima, diciannovesima, ventesima, ventitreesima; esercizio B7 serie quarta; esercizio B8, parte a.
  58. Mer 05/12/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Ultime osservazioni sulle serie: convergenza delle serie assolutamente convergenti e delle serie a segni alterni con termine infinitesimo (con cenni di dimostrazioni ed esempi). Eesempi di equazioni differenziali tratti dalla meccanica: moto di un corpo in caduta libera in assenza di attrito (prima con accelerazione costante, e poi con accelerazione proporzionale all'inverso del quadrato della distanza dal centro della terra): moto di un corpo agganciato ad una molla in assenza di attrito (oscillatore armonico).
  59. Gio 06/12/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Altri esempi di equazioni differenziali: moto del pendolo (senza attrito); equazione di decadimento. Cenni sulle proprietà generali delle equazioni differenziali del primo ordine (senza dimostrazioni). Risoluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili (con esempi).
  60. Ven 07/12/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Equazioni differenziali lineari del primo ordine: formula risolutiva generale tramite fattore integrante (con esempi). Proprietà generali delle equazioni differenziali del secondo ordine (senza dimostrazioni). Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: le soluzioni di un'equazione omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione due (con dimostrazione parziale). Risoluzione nel caso omogeneo e a coefficienti costanti (con dimostrazione). Esempi.
  61. Mer 12/12/2012 09:30-10:30 (1 ora, Vincenzo Maria Tortorelli in compresenza con la dottoressa Annalisa Massaccesi), esercitazione.
    Esercizi introduttori su equazioni differenziali: Unicità per u' = u, u(0)=0: se u è soluzione -u è soluzione, ove non negativa la soluzione è crescente e convessa, riducendosi quindi al caso non negativo dal teorema fondamentale del calcolo confrontando per convessità con l'area del triangolo di vertici (0,0), (t,0), (t, u(t)) si ottiene 0 < o = u(t) < o =1/2 tu(t). Soluzioni delle equazioni lineari del primo ordine: metodo di quadratura, metodo di linearità: soluzione particolare + soluzione dell'equazione omogenea. Stesso metodo di linearità presentato per un'equazione lineare del secondo ordine (su richiesta). Osservazioni sulla linearità, e sui termini noti che siano soluzioni dell'omogenea.
    Dal nono gruppo di esercizi: esercizo 12, primo e terzo tema. http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3
  62. Mer 12/12/2012 10:30-11:30 (1 ora), lezione non tenuta per sospensione didattica per assemblea degli studenti.
  63. Mer 12/12/2012 14:30-15:30 (1 ora, Vincenzo Maria Tortorelli), lezione.
    1 - Risoluzione dell'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea e a coefficienti costanti reali nel caso in cui l'equazione caratteristica ha soluzioni complesse: cenno all'interpretazione fisica e verosimiglianza per l'esistenza di soluzioni oscillatorie, richiamo sull'esponenziale complesso, derivata dell'esponenziale complesso, soluzioni fondamentali con esponenziale complesso, calcolo delle soluzioni fondamentali con funzioni trigonometriche "smorzate''.
    2 - Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee: a) linearità dell'equazione (analogia con l'equazione di una retta) differenza di soluzioni è soluzione dell'omogenea; b) la solzuione generale si trova sommando una soluzione particolare dell'equazione di partenza con tutte le soluzioni dell'equazione omogenea associata.
  64. Mer 12/12/2012 15:30-16:30 (1 ora, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Esercizi preliminari su equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: esempio di equazione del primo ordine nonomogenea per illustrare l'analogia del metodo "soluzione particolare più soluzione generale dell'omogenea", u''+u =1; esercizio 19 del nono gruppo di esercizi, ultimo tema con diverse condizioni iniziali; esercizio 20, quarto tema con termini noti diversi: costante, p(t)=t, soluzione dell'omogenea.
  65. Gio 13/12/2012 10:30-11:15 (1 ora, Vincenzo Maria Tortorelli), lezione.
    Espressione con parametri di ampiezza e fase della soluzione generale di un equazione lienare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti e comportamento qualitativo del grafico. (Vincenzo Maria Tortorelli)
  66. Gio 13/12/2012 11:15-12:30 (1 ora,  Vincenzo Maria Tortorelli in compresenza con la dottoressa Annalisa Massaccesi), esercitazione.
    Esercizi su equazioni lineari del primo ordine, equazioni autonome, equazioni a variabili separabili fenomeno delle soluzioni costanti e delle barriere, problemi con condizioni ausiliarie e condizione di dato iniziale. Dal nono foglio di esercizi: esercizio 12, terzo tema, nono tema, variazione sul nono tema con imposizione della condizione di limitatezza, decimo tema; esercizio 14 primo tema, secondo tema, impostazione quarto e sesto tema, quinto tema; esercizio 15 impostazione primo tema; esercizio 16 impostazione primo tema.
  67. Ven 14/12/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti), lezione.
    Un esempio significativo di equazione differenziale lineare del secondo ordine: l'oscillatore armonico smorzato. Risoluzione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine con coefficienti costanti e non omogenee nel caso di termini noti di tipo particolare (polinomi, esponenziali, combinazioni lineari di seni e coseni). Esempio significativo: il fenomeno della risonanza nell'oscillatore armonico forzato.
  68. Sab 15/12/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli), esercitazione.
    Esercizi su equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: termini noti speciali e metodo dei coefficienti indeterminati, uso dell'esponenziale complesso nel caso di termini noti risonanti del tipo esponenziale per trigonometrica (indicazioni su come e quando nel corso del calcolo conviene esplicitare le radici del polinomio caratteristico e le soluzioni dell'omogenea o indicarle simbolicamente usando solo le proprietà); termini noti oscillanti non risonanti per oscillatori senza attrito; un metodo diverso dalla variazione delle costanti per trattare termini noti generici: integrale tra 0 e t di u(t-s) f(s) ds, dove f è il termine noto e u la soluzione dell'omogenea per cui u(0)=0 u'(0)=1 (parallelo con le equazioni del primo ordine). Esercizi tratti dal nono foglio di esercizi.