Dati registro

insegnamento: Analisi in più variabili 2
corso di studi: Matematica (triennale, in condivisone con la magistrale)
anno accademico: 2011-2012
docenti: Giovanni Alberti (responsabile, lezioni), Maria Stella Gelli (esercitazioni)
codice: 518AA
totale: 68 ore (lezione: 40 ore, esercitazione: 28 ore, "fuori programma": 4 ore)

Lezioni

1. Mar 27/09/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Presentazione del corso: programma, mailing list, orario di ricevimento. Prerequisiti: corsi di analisi e geometria dei primi due anni, ed in particolare: integrazione secondo Lebesgue, compattezza in spazi metrici, serie di Fourier per funzioni di classe C^1, lunghezza di una curva ed area di una superficie, teorema di Gauss-Green, della divergenza, e di Stokes, potenziale di un campo di vettori irrotazionale, calcolo degli integrali con il metodo dei residui.
   Richiamo delle nozioni di base dell'integrazione secondo Lebesgue: misura e sigma-algebra dei misurabili secondo Lebesgue; definizione di integrale; teoremi di passaggio al limite (per convergenza monotona, per convergenza dominata, lemma di Fatou); teorema di Fubini.
2. Mer 28/09/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Alcune disuguaglianza: Jensen, Hölder, Minkowski. Definizione degli spazi L^p(E) con E insieme misurabile. La norma L^2 deriva da un prodotto scalare. Completezza degli spazi L^p (dimostrazione rimandata alla lezione successiva).
3. Gio 29/09/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
   Esercizi sulle classi di equivalenza rispetto all'uguaglianza q.o.; esistenza di classi che non hanno alcun rappresentante continuo / Riemann integrabile (costruzione esplicita in [0,1]). Confronto tra gli L^p su un limitato e su R. Commento sugli spazi L^p con p < 1.
4. Mar 04/10/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Dimostrazione della completezza di L^p. Nozioni di convergenza per successioni di funzioni: puntuale quasi ovunque (q.o.), in L^p, in misura. Relazioni tra queste nozioni: la convergenza q.o. e la convergenza L^p implicano quella in misura, la convergenza in misura implica quella q.o. per un'opportuna sottosuccessione, la convergenza q.o. implica la convergenza uniforme a meno di un insieme di misura piccola (teorema di Egorov). Densità in L^p delle funzioni semplici e di quelle continue. Teorema di Lusin (dimostrazione rimandata alla lezione successiva).
5. Mer 05/10/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione non tenuta per sospensione didattica per assemblea degli studenti.
6. Gio 06/10/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
   Risoluzione esercizi lasciati la volta precedente: immersione continua per p < q di L^q in L^p(E) nel caso misura(E) finita; esempio di funzione che sta in L^p(R) per ogni p finito ma non è limitata. Discussione delle proprietà di sottospazio, convessità e chiusura di X in L^p(0,1), p qualsiasi, dove X è lo spazio delle f continue / nulle in zero / con integrale 1.
7. Mar 11/10/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Dimostrazione del Teorema di Lusin. Definizione di spazio di Hilbert X e di base di Hilbert (sistema ortonormale massimale). Esempi chiave di spazi di Hilbert: L^2(E) (già visto in precedenza) e l^2 "elle-piccolo-2" (la dimostrazione che si tratta di uno spazio di H è stata posposta). Teorema fondamentale [disuguaglianza di Bessel / ogni vettore in X si scrive come combinazione lineare (infinita) di elementi della base / l'applicazione che ad ogni vettore associa la successione dei coefficienti è un'isometria di X in l^2 / identità di Parseval]. X ammette una base numerabile se e solo se è separabile. Costruzione di basi di H: tramite Zorn e tramite il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (per spazi separabili).
8. Mer 12/10/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Teorema: uno spazio di Hilbert X si scrive come somma diretta di un qualunque sottospazio chiuso Y e del suo complemento ortogonale / esistenza della proiezione su Y. Teorema: ogni funzionale lineare e continuo su X sé rappresentato tramite prodotto scalare da un elemento dello spazio (teorema di Riesz). Verifica del fatto che l^2 è uno spazio di Hilbert.
9. Gio 13/10/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
   Base di Haar e separabilità di L^2(0,1); separabilità di L^2(E) generico. Immersione di L^2(E) in L^2(R) e restrizione. Risoluzione di problemi di calcolo della proiezione (punto di minima distanza) sia con il metodo analitico che tramite calcolo di un sistema ortonormale con Gram-Schmidt. Applicazione ai polinomi di Legendre.
10. Mar 18/10/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Spazi di Hilbert complessi: definizione ed enunciato del teorema fondamentale sulle basi di Hilbert. La serie di Fourier complessa come scomposizione rispetto ad una base di Hilbert dello spazio L^2(-pigreco, pigreco). Verifica del fatto che gli elementi della base di Fourier danno luogo ad un sistema ortonormale massimale: la massimalità è stata dimostrata a partire dalla densità dei polinomi trigonometrici nello spazio delle funzioni continue su R e 2pigreco-periodiche, che a sua volta è stata ottenuta tramite il teorema di Stone-Weierstrass (enunciato ma non dimostrato). Coefficienti della derivata di una funzione periodica di classe C^1. Relazione tra la regolarità di una funzione e il comportamento asintotico (e la sommabilità) dei coefficienti. Convergenza totale per la serie di Fourier di una funzione periodica di classe C^1.
11. Mer 19/10/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Digressione sulla convergenza totale e puntuale della serie di Fourier. Breve cenno alla serie di Fourier reale (senza dimostrazioni - si suggerisce di ricondursi a quella complessa). Derivazione dell'equazione del calore in una dimensione (a partire dalla legge fisica sulla conduzione). Risoluzione "formale" dell'equazione del calore con condizioni di periodicità al bordo tramite la serie di Fourier. Dimostrazione rigorosa dell'esistenza di una soluzione. Dimostrazione rigorosa dell'unicità della soluzione (tramite la caratterizzazione dei coefficienti di Fourier).
12. Gio 20/10/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Correzione degli esercizi lasciati la volta scorsa: calcolo di basi ortogonali polinomiali (tramite Gram-Schmidt) e di proiezioni ortogonali tramite formula; in alternativa, nel caso di Y={f in L^2(0,1) a media nulla}, usare il fatto che se f si scrive come f=g+h con g in Y ed h in Y ortogonale allora h è la proiezione. Separabilità di L^2 (R) tramite esibizioni di sottoinsiemi densi numerabili (tipo Haar o polinomi).
13. Mar 25/10/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Esistenza della proiezione (punto di minima distanza) su convesso chiuso K in un Hilbert e sua caratterizzazione tramite disequazione; significato geometrico; esempi e controesempi. Applicazione all'esistenza della proiezione ortogonale nel caso K sottospazio chiuso. Esempio di successione non pre-compatta in un Hilbert di dimensione algebrica infinita; richiamo del risultato: la palla è compatta in X Banach se e solo se dim(X) finita. Un paio di dimostrazioni della densità delle funzioni C^1 e C^1_c su L^p(R), con p finito.
14. Mer 26/10/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Altre applicazioni della serie di Fourier: dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica nel piano. Derivazione dell'equazione delle onde per onde di compressione (longitudinali) in una barra elastica; risoluzione "formale" dell'equazione delle onde tramite serie di Fourier. Dimostrazione rigorosa del teorema di esistenza.
15. Gio 27/10/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Esercizi sulle serie di Fourier reali e complesse: relazione tra i coefficienti; caratterizzazione delle funzioni reali / dispari / pari tramite i coefficienti di F. Calcolo dei coefficienti di F. complessi di f(kx) con K intero e di f(x+c) in termini dei coefficienti di F.: risoluzione tramite calcolo diretto versus calcolo attraverso sviluppi in serie per f regolari ed estensione per densità. Un esempio svolto di risoluzione di EDP con serie di F. complesse. Calcolo dei coefficienti del dato iniziale con manipolazioni algebriche.
16. Mer 02/11/2011 11:00-12:00 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Dimostrazioni avanzate dalla lezione precedente: esistenza (tramite formula esplicita) ed unicità (tramite determinazione dei coefficienti di Fourier) delle soluzioni dell'equazione delle onde in una dimensione spaziale con condizioni di periodicità al bordo.
17. Mer 02/11/2011 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Risoluzione di EDP di tipo calore ed onde con perturbazioni lineari: dimostrazione di unicità ed esistenza con lo stesso metodo delle equazioni classiche risolte a lezione. Applicazione alla risoluzione di un problema con dati iniziali diversi (dati al bordo zero) attraverso un principio di simmetria (estensione dispari).
18. Gio 03/11/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    La base di Hilbert di L^2(0,pi) a valori reali data dalle funzioni sin(nx): ortogonalità e completezza tramite bigezione con le funzioni di L^2(-pi,pi) dispari e a valori reali (caratterizzazione dei coefficienti di F.). Applicazione alla risoluzione di EDP tipo calore con dati al bordo nulli per ogni t. Generalizzazione al caso 2-dimensionale su Q = [0,pigreco] x [0,pigreco]. Ripasso sui risultati di convergenza uniforme della serie di F associata ad f: controesempi. Convergenza puntuale della serie di F. associata a f(x)=x.
19. Mar 08/11/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Prodotto di convoluzione per funzioni su R^n. Casi in cui il prodotto f*g è ben definito: f in L^p e g in L^1 (disuguaglianza di Young); f in L^p e g in L^q con p e q esponenti coniugati (in questo caso si dimostra che f*g è limitata ed uniformemente continua). Versione generale della disuguaglianza di Young (enunciata ma non dimostrata).
    Convoluzione e derivata: se f è di classe C^1 con f e f' in L^p, e g sta in L^q con p e q esponenti coniugati, allora f*g è di classe C^1 e (f*g)'=(f')*g.
20. Mer 09/11/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione non tenuta per sospensione didattica per assemblea studentesca della facoltà di Scienze.
21. Gio 10/11/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Correzione esercizi su EDP; controesempio alla validità della formula che lega i coefficienti di F. di f ed f'. Operatori auto-aggiunti da sottospazi densi di uno spazio di Hilbert a valori nello stesso spazio: esempi e proprietà; nozione di autovalore e collegamento con le basi di Hilbert. Esempi di operatori e collegamento con le basi di Hilbert incontrate: exp(inx), polinomi di Legendre, sin(nx).
22. Ven 11/11/2011 14:30-16:30 (2 ore) lezione "fuori programma", Maria Stella Gelli.Ripasso delle nozioni fondamentali di analisi complessa usate nel corso. Differenziabilità complessa, esempi e differenze con il caso reale. Equazioni di Cauchy-Riemann; integrazione di 1-forme complesse su curve C^1 o C^1 a tratti; la forma f(z) dz è chiusa se e solo se f è olomorfa; formula integrale di Cauchy. Sviluppo di Laurent e classificazione delle singolarità. Nozione di residuo e teorema dei residui. Esempi di calcolo di integrali tramite il teorema dei residui.
23. Mar 15/11/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Maria Stella Gelli.
    Definizione e prime proprietà della Trasformata di Fourier. Formule algebriche di calcolo di T(f) rispetto a composizione con traslazioni, omotetie, convoluzione; formula per T(f') e condizioni per la derivabilità di T(f). Calcolo esplicito della trasformata della Gaussiana g attraverso l'equazione differenziale risolta da T(g) applicando le regole sopra.
24. Mer 16/11/2011 11:00-12:00 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Risultati di approssimazione e regolarizzazione per convoluzione per funzioni in L^p.
25. Mer 16/11/2011 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Esercizi sulla convoluzione: convergenza puntuale ed uniforme delle regolarizzate, dimostrazione di alcuni risultati di densità delle funzioni regolari in L^p. Calcolo della trasformata di Fourier di exp(-|x|) e di exp(-x^2/2) (sia direttamente che usando il fatto che risolve una certa equazione differenziale lineare).
26. Gio 17/11/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Maria Stella Gelli.
    Definizione e proprietà dell'anti-trasformata di Fourier. Formula di inversione per la trasformata di Fourier: enunciato e dimostrazione (lemmi vari). Identità di Parseval su L^1 intersecato L^2; estensione "isometrica" della trasformata a tutto L^2. Corollario: se f sta in C^1 intersecato L^1 ed f' sta in L^1 allora T(f) sta in L^1 e vale la formula di inversione.
27. Mar 22/11/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Calcolo delle trasformate di Fourier di 1/(1+x^2) e 1/(4+x^4) usando il metodo dei residui. Calcolo diretto della trasformata dell'indicatrice dell'intervallo [-1,1]. Calcolo di altre trasformate usando gli esempi precedenti e alcune proprietà generali viste a lezione. La trasformata di 1/P con P polinomio di grado almeno due e senza zeri reali è infinitamente derivabile fuori dall'origine. La trasformata di una funzione a supporto compatto coincide con la restrizione ad R di una funzione olomorfa su tutto C, ed in particolare è analitica.
28. Mer 23/11/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Maria Stella Gelli.
    Fine della dimostrazione del teorema di estensione "isometrica" della TdF a L^2; applicazione della TdF al calcolo (formale) della soluzione dell'equazione del calore su R con opportune condizioni iniziali; soluzione fondamentale. Definizione e proprietà della TdF su R^n.
29. Gio 24/11/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Giovanni Alberti.
    Verifica delle proprietà della soluzione dell'equazione del calore su tutto R proposta a lezione. Verifica dell'unicità della soluzione con l'ipotesi di finitezza delle norme L^1 della soluzione e di alcune sue derivate. Due esempi (uno a favore e uno contro) l'uso della trasformata di Fourier per la risoluzione di equazioni differenziali: l'equazione di Laplace nel piano e l'equazione y'=y sulla retta. La disuguaglianza di Heisenberg: dimostrazione per funzioni C^1 a supporto compatto ed interpretazione.
30. Mar 29/11/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Differenziale di una mappa da R^n in R^m. Superfici (nel senso di sottovarietà) di dimensione d in R^n, senza bordo e di classe C^k. Definizione per parametrizzazione o tramite equazione. Verifica dell'equivalenza di queste definizioni.
31. Mer 30/11/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Spazio tangente ad una superficie nel punto x come insieme delle velocità di cammini passanti per x. Caratterizzazione in termini di differenziale di una parametrizzazione o di un'equazione. Altre caratterizzazioni dello spazio tangente. Mappe di classe C^k tra superfici, definite in termini delle parametrizzazione. Estensione di una mappa C^k ad un intorno della superficie di partenza. Differenziale di una mappa C^1 in un punto come applicazione lineare tra spazi tangenti.
32. Gio 01/12/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Commento sugli errori svolti nel compitino. Esercizi sulla nozione di d-superficie in R^n di classe C^k. Esempi classici: sottospazi vettoriali, sfere, etc.: esistenze di parametrizzazioni locali o come luoghi di zeri. Sottoinsiemi di matrici: matrici simmetriche ed ortogonali. Calcolo del differenziale nella matrice identità dell'applicazione determinante.
33. Mar 06/12/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Calcolo del differenziale e del relativo rango per applicazioni su spazi di matrici. Applicazione: O(n) e le matrici con determinante 1 sono superfici (con il calcolo della dimensione). Calcolo esplicito di piani tangenti come kernel di differenziali o attraverso la definizione. Esempi di luoghi di zeri di funzioni degeneri: {y^2=x^3}, {y^4=x^3} (svolgimento completo). Calcolo del differenziale del determinante in una qualsiasi matrice invertibile. Ripasso dell'integrazione di campi di vettori su curve e superfici: teorema della divergenza e teorema di Gauss Green.
34. Mer 07/12/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Maria Stella Gelli.
    Completamento di alcuni argomenti della lezione precedente. Funzioni armoniche su un aperto di R^n: definizione tramite la proprietà della media; equivalenza della proprietà della media su sfere e su palle; le funzioni armoniche sono C^infinito (dimostrazione solo su R^n); una funzione è armonica se e solo se ha Laplaciano nullo. Principio del massimo; unicità della funzione armonica con dato al bordo assegnato su un aperto limitato.
35. Mar 13/12/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Ogni funzione olomorfa (o anti-olomorfa) è armonica. Ogni funzione armonica definita su un aperto semplicemente connesso del piano è parte reale di una funzione olomorfa (corollario: le funzioni armoniche in dimensione due sono analitiche). Risoluzione dell'equazione di Laplace su disco con dato al bordo assegnato di classe C^1 (formula esplicita derivata tramite serie di Fourier). Definizione di superficie d-dimensionale con bordo in R^n tramite parametrizzazioni, e caratterizzazione in termini di equazioni e disequazioni. Definizione di punto di bordo, e caratterizzazione in termine dell'insieme delle velocità delle curve che partono dal punto. Spazio tangente al bordo e normale esterna al bordo. Esempi di superfici con bordo.
36. Mer 14/12/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Formula dell'area, e giustificazione della stessa nel caso di parametrizzazioni lineari. Formula di Binet per il determinante di A^t A con A matrice d x n; interpretazione geometrica della formula nel caso d=2, n=3. Casi particolari (già noti) della formula dell'area: lunghezza di una curva, area di una superficie nello spazio, area del grafico di una funzione scalare. Orientazione di uno spazio vettoriale come classe di equivalenza di basi (ordinate). Orientazione di una superficie, ed orientazione del bordo. Il nastro di Moebius non è orientabile. Applicazioni k-lineari alternanti su uno spazio vettoriale V. Prodotto esterno.
37. Gio 15/12/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione "fuori programma", Giovanni Alberti.Argomenti complementari: equivalenza di compattezza e compattezza sequenziale per spazi metrici; caratterizzazione degli spazi metrici compatti in termini di completezza e totale limitatezza; lemma di estensione di Tietze; costruzione delle partizioni dell'unità subordinate ad un ricoprimento aperto di uno spazio metrico (che si suppone localmente compatto e separabile); costruzione di partizioni dell'unità di classe C^infinito nel caso euclideo; dimostrazione del teorema di Stone-Weierstrass.
38. Gio 15/12/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Integrazione di una funzione su una superficie (a completamento di quanto fatto nella lezione precedente). Dimostrazione della formula di Binet. Base canonica dello spazio delle k-forme lineari alternanti su R^n. Definizione di k-forma su un aperto di R^n. Integrazione di una k-forma su una superficie k-dimensionale. Differenziale di una k-forma e sue proprietà fondamentali. Enunciato del teorema di Stokes.
39. Mar 20/12/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Pull-back di una k-forma secondo una funzione; proprietà del pull-back. Dimostrazione del teorema di Stokes. Una k-forma esatta (cioè che ammette una primitiva) è chiusa (cioè ha differenziale nullo) e il viceversa vale su aperti stellati (dimostrazione parziale). Esempi di forme chiuse non esatte.
40. Mer 21/12/2011 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Esercizi svolti su k-forme (attraverso la scrittura in coordinate standard ed applicando le proprietà viste a lezione): calcolo algebrico, ossia somma, prodotto esterno, differenziale (riscrittura tramite permutazioni col segno); pull-back di forme; qualche esempio di integrazione di forme chiuse. Applicazione del teorema di Stokes per verificare le condizioni integrali necessarie e sufficienti affinché una k-forma su R^n sia nulla. Esempio di k-forma chiusa ma non esatta. Esempi di forme esatte con primitiva C^2 o C^1 a seconda della scelta.