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insegnamento: Analisi in pi¨ variabili III
corso di studi: Matematica (triennale 270)
anno accademico: 2009-2010
docenti: Giovanni Alberti (titolare, lezioni), Maria Stella Gelli (esercitazioni)
codice: 042AA
totale: 72 ore e 1/2 (lezione: 43 ore e 1/2, esercitazione: 29 ore)

Lezioni
  1. Lun 28/09/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Presentazione del corso: programma, libri di testo, modalitÓ d'esame, pagine web del corso e materiale online, mailing list del corso. Descrizione dei prerequisiti del corso. Serie di Fourier reale e complessa di una funzione continua e di periodo 2pigreco su R: definizione dello spazio di funzioni nel caso complesso, definizione del prodotto scalare, identificazione dei coefficienti, massimalitÓ del sistema ortonormale dato dalle funzioni esponenziali immaginarie e teorema di convergenza della serie di Fourier complessa per funzioni di classe C^1 (solo enunciato). Commenti.
  2. Mar 29/09/2009 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Dimostrazione della massimalitÓ delle funzioni esponenziali immaginarie e del teorema di convergenza enunciati nella lezione precedente. Come modificare questi risultati passando al caso reale. Estensioni del teorema di convergenza. Enunciato e dimostrazione del teorema di Stone-Weierstrass.
  3. Ven 02/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Alcune osservazioni sulle proprietÓ topologiche e metriche dello spazio delle funzioni continue e periodiche su [-pigreco, pigreco] dotato sia della norma infinito che della norma due (non completezza della norma 2, non validitÓ dell'identitÓ del parallelogramma per la norma infinito, confronto metrico e topologico tra le due etc.). Calcolo di alcuni sviluppi in serie di Fourier e verifica dei teoremi di convergenza. Il caso f(x)=x estesa per periodicitÓ: calcolo dei suoi coefficienti di Fourier e confronto con i coefficienti di Fourier di g(x)=1 (sua "derivata").
  4. Lun 05/10/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Collegamento tra la regolaritÓ di una funzione ed il comportamento asintotico (o la sommabilitÓ) dei suoi coefficienti di Fourier. Derivazione dell'equazione delle onde a partire dalla legge di Hooke (molle elastiche) per onde di compressione in un mezzo elastico uni-dimensionale: condizioni al bordo e condizioni iniziali. Equazione delle onde in dimensione superiore (vibrazioni di una membrana elastica). Risoluzione dell'equazione delle onde in dimensione uno con condizioni di periodicitÓ al bordo tramite la serie di Fourier, motivazione delle condizioni iniziali, e rappresentazione della soluzione come somma di due onde in movimento. Dimostrazione dell'unicitÓ della soluzione classica (C^2).
  5. Mar 06/10/2009 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Richiamo del teorema di unicitÓ della soluzione (C^2) dell'equazione delle onde. Teorema di esistenza della soluzione (due diverse dimostrazioni). Derivazione dell'equazione del calore in dimensione qualunque (trasmissione del calore per conduzione in un mezzo conduttore isotropo): condizioni al bordo e condizioni iniziali. Risoluzione dell'equazione del calore in una dimensione con condizioni di periodicitÓ al bordo tramite la serie di Fourier: enunciato del teorema di unicitÓ e del teorema di esistenza, con dimostrazioni parziali (in particolare per l'esistenza). RegolaritÓ C^infinito nel futuro delle soluzioni. Non risolubilitÓ nel passato.
  6. Mer 07/10/2009 16:00-18:30 (2 ore e 1/2) lezione di fuori orario, Giovanni Alberti.Nozioni fondamentali della teoria delle funzioni olomorfe ed in particolare sul metodo dei residui per il calcolo degli integrali (la lezione Ŕ indirizzata agli studenti che ancora non hanno seguito il corso di Topologia e Analisi Complessa). Contenuto: funzioni olomorfe e funzioni analitiche. Integrazione di forme su curve, forme esatte e forme chiuse, teorema di Gauss-Green. Formula di rappresentazione di Cauchy per una funzione olomorfa. Serie di Laurent, singolaritÓ isolate e residui. Teorema dei residui, calcolo degli integrali tramite il teorema dei residui (strategia generale illustrata con un esempio).
  7. Ven 09/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    RegolaritÓ di una funzione e sommabilitÓ dei suoi coefficienti di Fourier:il caso decadimento esponenziale implica analiticitÓ. Calcolo della norma due di una funzione espressa come serie trigonometrica attraverso la validitÓ dell'uguaglianza di Bessel per f C^1 (regolaritÓ ottenuta dalla sommabilitÓ dei coefficienti). Estensione della validitÓ dell'uguaglianza di Bessel tramite densitÓ.
  8. Lun 12/10/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Correzione e completamento di alcune dimostrazioni date nella lezione precedente. RegolaritÓ delle soluzioni dell'equazione del calore (su un intervallo e con condizioni di periodicitÓ al bordo). Dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica nel piano. Sistema ortonormale per lo spazio delle funzioni reali e continue su [0,pigreco] nulle la bordo e teorema di rappresentazione in serie per le funzioni di classe C^1 (dimostrato a partire dall'analogo teorema per la serie di Fourier complessa). Sistema ortonormale per lo spazio delle funzioni reali e continue sul quadrato [0,pigreco]^2 nulle la bordo e teorema di rappresentazione in serie per le funzioni di classe C^1 (dimostrato a partire dall'analogo teorema in dimensione uno).
  9. Mar 13/10/2009 16:00-17:00 (1 ora) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Esercizi su equazione del calore e delle onde perturbati con termini lineari o con termini noti regolari sullo spazio X. Lo stesso tipo di equazioni sullo spazio delle funzioni continue con dato zero al bordo: analisi delle condizioni al bordo necessarie e possibile metodo risolutivo in vista di quanto fatto nel caso precedente e dei teoremi dimostrati a lezione.
  10. Mar 13/10/2009 17:00-18:00 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    I sistemi ortonormali introdotti nelle lezioni precedenti come sistemi di autovettori di operatori auto-aggiunti (la derivata seconda in dimensione uno, il Laplaciano in dimensione due).
  11. Ven 16/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    OrtogonalitÓ e massimalitÓ del sistema {sin(nx)}_n su Y via densitÓ delle somme finite rispetto alla norma infinito (teorema di rappresentazione e densitÓ delle C^1 con dato zero al bordo). Risoluzione esercizi su equazioni alle derivate parziali lasciate la volta scorsa su X, Y, Z: il metodo di calcolo esplicito dei coefficienti di Fourier della candidata soluzione + regolaritÓ via sommabilitÓ dei coefficienti ereditata dai dati al bordo + unicitÓ dovuta al teorema di rappresentazione.
  12. Lun 19/10/2009 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Esercizi su operatori auto-aggiunti: verifica o meno della proprietÓ di essere auto-aggiunto e calcolo di (tutti gli) autovalori per operatori assegnati. In particolare il caso Tu=u'' su un opportuno (sotto)spazio delle funzioni continue, continue+periodiche, continue reali con dato zero al bordo (Y) ed il caso dell'operatore T_a u = a*u con a funzione continua fissata su Y. Analogamente per Tu = Laplaciano di u su Z, spazio delle funzioni continue sul quadrato con dato zero al bordo utilizzando sia la teoria delle serie di Fourier su Z che il metodo di separazione di variabili. Calcolo del Laplaciano in coordinate polari per estendere lo stesso metodo allo studio del Laplaciano su C_0(B), funzioni continue sul cerchio e zero sul bordo.
  13. Mar 20/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Rappresentazione di una funzione su R in termini di funzioni esponenziali elementari (immaginarie): deduzione della formula a partire dalla teoria della serie di Fourier. Condizioni necessarie per l'esistenza dell'integrale di funzioni su R (in senso improprio o di Lebesgue), condizioni necessarie per l'esistenza del prodotto scalare. Definizione di serie di Fourier di una funzione (continua o comunque integrabile) con norma L^1 finita. Enunciato della formula di rappresentazione (detta anche formula di inversione) e dimostrazione per funzioni C^1 a supporto compatto. Alcune proprietÓ elementari della trasformata di Fourier: continuitÓ, stima della norma del sup, trasformata di traslate e simili, trasformata della derivata, derivata della trasformata.
  14. Ven 23/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Calcolo di trasformate di Fourier tramite calcolo diretto ed utilizzando le proprietÓ (composizione, traslazione, trasformate di derivate e derivate di trasformate) viste a lezione. Calcolo di trasformate per funzioni non continue ma solo assolutamente integrabili (costanti a tratti) ed applicazione al calcolo di trasformate via generalizzazione del risultato F(f')(y) = iy F(f)(y) a funzioni non C^1. Calcolo diretto applicando i risultati di teoria dei residui. Commento sulla risoluzione esercizio sugli autovalori del Laplaciano su C^0_0(B).
  15. Lun 26/10/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Ricapitolazione della definizione di trasformata di Fourier e delle proprietÓ viste in precedenza. Dimostrazione della disuguaglianza di Bessel e poi dell'uguaglianza di Bessel e di Parseval per la trasformata di Fourier. Alcune condizioni che garantiscono la sommabilitÓ della trasformata. Dimostrazione della formula di inversione della trasformata di Fourier. (Giovanni Alberti)
  16. Mar 27/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Trasformata di Fourier per funzioni in pi¨ variabili e formula di inversione. Calcolo della trasformata di Fourier di una Gaussiana. Prodotto di convoluzione, proprietÓ del prodotto di convoluzione. Alcune applicazioni della trasformata di Fourier: dimostrazione del teorema del limite centrale, risoluzione dell'equazione del calore sulla retta (con formula esplicita della soluzione in termini di convoluzione). (Giovanni Alberti)
  17. Ven 30/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Esercizi su TdF: f continua+sommabilitÓ di x^kf implica F(f) in C^k; f in C^k con derivate sommabili implica F(f)=O(1/y^k). Esempi di funzioni continue con norma1 finita e norma 2 infinita e viceversa. Dimostrazione dell'iniettivitÓ della TdF (tramite uguaglianza di Parseval ed approssimazione). Calcolo di F(f) utilizzando l'equazione differenziale lineare soddisfatta da f e trasformandola in equazione differenziale per F(f): il caso delle gaussiane.
  18. Lun 02/11/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Diagonalizzazione della trasformata di Fourier (cenno). Compattezza e compattezza per successioni: richiamo dei risultati fondamentali. Teorema di Ascoli-ArzelÓ. Teorema di Tychonov (dimostrato solo nel caso di prodotto numerabile).
  19. Mar 03/11/2009 16:00-17:00 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    MetrizzabilitÓ di un prodotto numerabile di spazi metrici. Applicazione del teorema di Ascoli-ArzelÓ: il teorema di unicitÓ di Peano per le equazioni differenziali ordinarie.
  20. Mar 03/11/2009 17:00-18:00 (1:0 h) esercitazione: Esercizi su TdF, equazioni integrali che passano ad equazioni differenziali in f e quindi algebriche in F(f); dimostrazione che F(f) Ŕ infinitesima a +-infinito (lemma di Riemann-Lebesgue per funzioni in X); caratterizzazione del modulo degli "autovalori" della TdF.
  21. Ven 06/11/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Risoluzione esercizi lasciati la volta scorsa: calcolo di trasformate di Fourier attraverso le proprietÓ "algebriche" dimostrate (moltiplicazioni per cos(x), composizione con traslazioni, completamento di quadrati etc; calcolo attraverso quello della derivata con estensione nel punto 0 + teorema dei residui. Esercizi svolti sul prodotto di convoluzione e TdF. Applicazione dell'identitÓ di Bessel/Parseval al calcolo di integrali di funzioni razionali. ValiditÓ della formula di inversione in due variabili.
  22. Lun 09/11/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Richiamo delle nozioni e dei risultati fondamentali sull'integrazione di funzioni scalari e di campi di vettori su curve (in R^n) e superfici (in R^3) date in forma parametrica: teoremi di Stokes, della divergenza e di Gauss-Green.
  23. Mar 10/11/2009 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Richiamo del teorema della funzione inversa e del teorema della funzione implicita; differenziale di una mappa di classe C^1. Definizioni equivalenti di superficie d-dimensionale di classe C^k *senza bordo* in R^n (localmente luogo di zeri / grafico / immagine di parametrizzazione). Definizioni equivalenti di spazio tangente ad un punto x di una superficie (kernel nel del differenziale di un'equazione / immagine del differenziale di una parametrizzazione / insieme delle velocitÓ iniziali di cammini che partono da x / insieme dei vettori direzione generati da successioni di punti della superficie che convergono a x / etc. etc.).
  24. Ven 13/11/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Esercizi su prodotto di convoluzione: regolaritÓ ereditata dalla somma delle regolaritÓ delle funzioni. Nuclei di convoluzione e mollificatori: convergenza uniforme sui compatti, convergenza in norma L^1. DensitÓ delle funzioni C^infinito a supporto compatto rispetto alla norma L^1. Disuguaglianza di Heisenberg per funzioni C^1 a supporto compatto. ValiditÓ della proprietÓ F(fg)=F(f)*F(g) per funzioni che verificano le ipotesi del teorema di inversione.
  25. Lun 16/11/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Calcolo esplicito del differenziale per il determinante, determinazione dello spazio tangente a O(n). Definizioni equivalenti di mappe di classe C^h da una superficie S di classe C^k in R^m (estendibilitÓ globale e/o locale ad una mappa regolare in un intorno di S / regolaritÓ della composizione con delle parametrizzazioni / etc. etc.)
  26. Mar 17/11/2009 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Correzione esercizi sulla TdF lasciati la volta scorsa. In particolare validitÓ della formula T(fg)=1/2pi(T(f)*T(g)) nel caso in cui f,g verifichino le ipotesi del teorema di inversione. Esercizi su superfici di dimensione 2 regolari in R^3: gli esempi classici, cilindro, paraboloide, etc. Il caso del cono: non Ŕ una superficie nel senso dato.
  27. Lun 23/11/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Completamento/correzione di una dimostrazione della lezione precedente. Definizioni equivalenti di differenziale in un punto di una mappa di classe C^1 tra due superfici. Costruzione di una partizione dell'unitÓ di classe C^infinito subordinata ad un ricoprimento aperto di un aperto di R^n. Definizione di superfici d-dimensionali *con bordo* in R^n, e di mappe regolari su superfici con bordo.
  28. Mar 24/11/2009 16:00-17:00 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Definizione di modulo del determinante per un'applicazione lineare da R^d in un sottospazio d-dimensionale di R^n (ovvero di un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali di uguale dimensione dotati di prodotto scalare). Formule alternative per il determinante (inclusa la formula di Binet). Formula dell'area per mappe di classe C^1 da (un aperto di) R^d in R^n.
  29. Mar 24/11/2009 17:00-18:00 (1 ora) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Dimostrazione che il grafico di |x| non Ŕ una 1-superficie S tramite negazione del fatto che esista una retta tangente in (0,0) con la proprietÓ che per ogni P in S dist(P, retta)=o(P). Applicazione del risultato per dimostrare che il cono in R^3 non pu˛ essere una 2-superficie. L'insieme delle matrici n x n reali simmetriche come n(n+1)/2 superficie in quanto sottospazio lineare con questa dimensione.
  30. Ven 27/11/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    RegolaritÓ della funzione det(X) e calcolo del suo differenziale (prima per calcolo diretto tramite sviluppo di det(X+tH) al primo ordine in t quando X Ŕ invertibile, poi tramite estensione continua: dimostrazione della densitÓ delle matrici invertibili rispetto alla norma standard). Calcolo del differenziale dell'applicazione che manda A in A^t*A-Id a valori nelle matrici simmetriche e del suo rango come operatore. Come conseguenza si ottengono le matrici ortogonali come superficie n(n-1)/2 dimensionale in R^{n^2}. Il caso delle matrici ortogonali a det=1: sono descritte da un'ulteriore equazione regolare ma sono ancora una sup di dimensionale n(n-1)/2 (in particolare O(n) ha due componenti connesse tutte e due superfici a loro volta). Parametrizzazione nel caso n=2. Esercizio: calcolo del differenziale dell'applicazione che manda A in (A^t*A-Id, det(A)-1) e del suo rango.
  31. Lun 30/11/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    La formula dell'area vista nella lezione precedente comprende tutte quelle viste in passato (lunghezza di una curva, area di una superficie, area del grafico di una funzione scalare). Definizione di integrale di una funzione scalare su una superficie (tramite parametrizzazioni e formula dell'area); verifica dell'invarianza per ri-parametrizzazione. Orientazione di uno spazio vettoriale. La Grassmanniana G(n,d) dei d-piani in R^n come insieme e come spazio topologico; la Grassmanniana G_or(n,d) dei d-piani orientati in R^n (caso particolare: d=1); corrispondenza canonica tra G(n,d) e G(n,n-d) e tra G_or(n,d) e G_or(n,n-d). Orientazione di una superficie di dimensione d in R^n; l'orientazione come sollevamento della mappa tangente; orientazione delle ipersuperfici; orientazione canonica del bordo di una superficie orientata, orientazione indotta da una parametrizzazione.
  32. Mar 01/12/2009 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Osservazioni sulla lezione precedente: non orientabilitÓ del nastro di Moebius (cenno), la Grassmanniana come superficie (senza dimostrazione). Applicazioni k-lineari alternanti su R^n (o su uno spazio vettoriale qualunque). k-forme di classe C^h su un aperto di R^n (incluse 1-forme e 0-forme). Integrazione di una k-forma su una superficie k-dimensionale orientata; invarianza per ri-parametrizzazione. Base canonica dello spazio delle applicazioni k-lineari alternanti su R^n e rappresentazione di una k-forma in coordinate. Prodotto wedge di due applicazioni multilineari alternanti e prodotto wedge di due forme. Differenziale (esterno) di una k-forma di classe C^1. Enunciato del teorema di Stokes.
  33. Ven 04/12/2009 14:00-15:00 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Nozioni e risultati sulle k-forme: n-forme su R^n; differenziale del prodotto di due forme; d^2=0; pull-back di una forma secondo una mappa; pull-back del prodotto di due forme; pull-back del differenziale di una forma; calcolo dell'integrale di una forma su una superficie parametrizzata tramite il pull-back. Dimostrazione del teorema di Stokes (per riduzione al caso particolare delle k-forme a supporto compatto sul semispazio k-dimensionale. Lasciata come esercizio: derivazione dei teoremi di Stokes (formulazione classica per le superfici), di Gauss-Green e della divergenza.
  34. Ven 04/12/2009 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione Maria Stella Gelli.
    Esercizi sull'orientazione di superfici: 1-superfici in R^n, 2-superfici in R^3. Orientazioni locali ottenute tramite parametrizzazioni locali. Il caso della sfera e del nastro di Moebius.
  35. Lun 07/12/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione non tenuta per sospensione della didattica disposta dal presidente del CdS.
  36. Ven 11/12/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Esercizi su k-forme in R^n. Esempi svolti di operazioni di calcolo algebrico e calcolo del differenziale esterno di 2 e 3 forme in R^3 ed R^n. Calcolo di integrali di 2-forme su superfici orientate (porzioni di paraboloidi e calotte sferiche). Coerenza o meno di parametrizzazioni con orientazioni assegnate.
  37. Lun 14/12/2009 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Excursus sulle proprietÓ del pull-back e sulla dimostrazione del teorema di Stokes: il risultato preliminare per forme a supporto compatto su semispazi. I teoremi di Gauss-Green, della divergenza e di Stokes in R^3 come conseguenza del teorema di Stokes. (Maria Stella Gelli)
  38. Mar 15/12/2009 16:00-17:00 (1 ora) esercitazione Maria Stella Gelli.
    Esercizi / risultati preliminari su integrali multipli e superficiali utilizzando la formula dell'area.
  39. Mar 15/12/2009 17:00-18:00 (1 ora) lezione, Maria Stella Gelli.
    Nozione e proprietÓ delle funzioni armoniche: proprietÓ della media sulle sfere. Equivalenza per una f continua della proprietÓ della media sulle sfere e sulle palle. RegolaritÓ C^infinito ed "armonicitÓ" di una f continua con la proprietÓ della media.
  40. Ven 18/12/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Maria Stella Gelli.
    Principio del massimo per funzioni armoniche. UnicitÓ per l'equazione di Laplace. Collegamento con le funzioni olomorfe.
  41. Lun 21/12/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Definizione di sigma-algebra e di misura (sigma-additiva) su una sigma-algebra; sigma-algebra dei Boreliani, definizione di misura regolare sui Boreliani e di misura (fortemente) regolare. Esempi di misure e di sigma-algebre: la misura di Lebesgue su R^n (data per nota) e su un sottoinsieme misurabile secondo L. di R^n; la misura che conta i punti su un insieme qualsiasi. Definizioni equivalenti di funzioni misurabili (a valori in R o in uno spazio topologico); proprietÓ delle funzioni misurabili. Integrale di una funzione misurabile positiva (a partire dall'integrale delle funzioni semplici); integrale delle funzioni a valori in R o R esteso; integrale su un insieme misurabile; linearitÓ dell'integrale (dimostrazione parziale). Enunciato del teorema di convergenza monotona (di Beppo Levi/Lebesgue), del lemma di Fatou, e del teorema di convergenza dominata (di Lebesgue).
  42. Mar 22/12/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Altri esempi di misure: misura data da una densitÓ; push-forward di una misura secondo una mappa; volume d-dimensionale su una superficie d-dimensionale parametrizzata. Per una misura regolare sui Boreliani, ogni funzione misurabile coincide q.o. con una funzione Boreliana. Teorema di Lusin. Sigma-algebre prodotto, misure prodotto e teorema di Fubini (senza dimostrazioni). Definizioni e proprietÓ della convergenza in misura (senza dimostrazioni). Gli spazi L^p; disuguaglianze di H÷lder e di Minkowski; lo spazio L^p Ŕ uno spazio normato completo.