Dati registro
insegnamento: Teoria Geometrica della
Misura
corso di studi: Matematica
(specialistica)
anno accademico: 2006-2007
docente: Giovanni Alberti
codice insegnamento: AA428
Lezioni
- 28/02/2007 dalle 17:00 alle 18:00
lezione.
Misure positive sui Boreliani. Teorema di Radon-Nikodym.
Misure a valori reali, misura variazione, rappresentazione polare. Lo
spazio delle misure reali come duale dello spazio delle funzioni
continue (Teorema di Riesz).
- 02/03/2007 dalle 11:00 alle 12:00
lezione.
Integrale (secondo Böchner) di funzioni a valori in un Banach.
Misure a valori vettoriali (in uno spazio di Banach). Teorema di
Radon-Nikodym. Teorema di Riesz per misure vettoriali.
- 02/03/2007 dalle 12:00 alle 13:00
lezione.
Misure esterne. Insiemi misurabili secondo Caratheodory.
Teorema di Caratheodory (i misurabili secondo C. contengono i Boreliani
se la misura è additiva sui distanti). Applicazione: costruzione della
misura di Lebesgue a partire dalla misura esterna.
- 07/03/2007 dalle 17:00 alle 18:00
lezione.
La costruzione della misura di Lebesgue come caso particolare
di una costruzione più generale. Costruzione della misura di Hausdorff
d-dimensionale su uno spazio metrico qualunque; proprietà fondamentali.
- 14/03/2007 dalle 17:00 alle 18:00
lezione.
Simmetrizzazione di Steiner e proprietà isodiametrica della
sfera. La misura di Hausdorff d-dimensionale coincide con Lebesgue su
R^d. Prima parte della dimostrazione.
- 16/03/2007 dalle 11:00 alle 12:00
lezione.
La misura di Hausdorff d-dimensionale coincide con la misura
di Lebesgue su R^d (conclusione della dimostrazione).
- 16/03/2007 dalle 12:00 alle 13:00
lezione.
Nozione di dimensione di Hausdorff. Proprietà di base della
dimensione di H. Calcolo diretto della misura e dimensione di H.
dell'insieme di Cantor.
- 21/03/2007 dalle 17:00 alle 18:00
lezione.
Altre definizioni di volume k-dimensionale di un insieme in
R^n: contenuto di Minkowski, misura integralgeometrica 1-dimensionale
nel piano.
- 28/03/2007 dalle 17:00 alle 18:00
lezione.
Misura di Haar su un gruppo topologico compatto, Misura
invariante rispetto all'azione di un gruppo. Misura invariante sulla
Grassmanniana. Misura integralgeometrica.
- 30/03/2007 dalle 11:00 alle 12:00
lezione.
Formula dell'area. Enunciato della formula e di alcune
varianti per mappe di classe C^1, giustificazione nel caso affine.
Formule alternative per lo Jacobiano. Casi particolari e corollari.
- 30/03/2007 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
Formula di coarea. Enunciato della formula per mappe di classe C^1 e
giustificazione nel caso affine.
- 04/04/2007 dalle 17:00 alle 18:00 lezione.
Teoremi di ricoprimento di Vitali e di Besicovitch (dimostrazioni solo
accennate).
- 27/04/2007 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
Conseguenze dei teoremi di ricoprimento: sottoricoprimenti di palle
disgiunte.
- 27/04/2007 dalle 12:00 alle 13:00
lezione.
Esistenza dei punti di densità per insiemi. Esistenza dei
punti di continuità approssimata in senso L^p per funzioni. Densità
di una misura rispetto ad un'altra.
- 02/05/2007 dalle 17:00 alle 18:30
lezione.
Proprietà di densità delle misure di Hausdorff. Applicazioni:
stime dal basso per la misura di Hausdorff di un insieme. Frattali
autosimili secondo Hutchinson.
- 04/05/2007 dalle 11:00 alle 12:00
lezione.
Funzioni Lipschitziane. Lemma di estensione di McShane.
Differenziabilità quasi ovunque e proprietà di Lusin. Formula di area e
coarea.
- 04/05/2007 dalle 12:00 alle 13:00
lezione.
Insiemi rettificabili k-dimensionali. Equivalenza delle varie
definizioni. Nozione debole di fibrato tangente ad un insieme
rettificabile.
- 09/05/2007 dalle 17:00 alle 18:30
lezione.
Proprietà puntuali del fibrato tangente per insiemi
rettificabili di misura finita. Insiemi puramente non rettificabili.
Caratterizzazione dei rettificabili in termini spazio/cono tangente
approssimato.
- 11/05/2007 dalle 11:00 alle 12:00
lezione.
k-vettori nello spazio Euclideo. Prodotto esterno. k-vettori
semplici. Orientazione di una superficie (regolare). Orientazione
canonica del bordo.
- 11/05/2007 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
k-covettori, dualità con i k-vettori. Forme differenziali.
Differenziale esterno. Enunciato del Teorema di Stokes.
- 16/05/2007 dalle 17:00 alle 18:30
lezione.
Push-forward di un k-vettore. Pull-back di una k-forma.
Pull-back e differenziale esterno. Dimostrazione del Teorema di Stokes.
- 18/05/2007 dalle 11:00 alle 12:00
lezione.
Correnti k-dimensionali come duale delle k-forme. Massa e
bordo. Superfici regolari come correnti. Correnti "diffuse" (campi di
vettori). Topologia dello spazio delle correnti. Correnti normali,
intere, e rettificabili.
- 18/05/2007 dalle 12:00 alle 13:00
lezione.
Teorema di compattezza per correnti normali e per correnti
intere (solo enunciato). Soluzione del problema di Plateau nell'ambito
delle correnti intere. Commenti: regolarità delle soluzioni, ottimalità
dei risultati (o mancanza di).
- 25/05/2007 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
Calcolo del bordo delle correnti in alcuni casi concreti. "Constancy
lemma" e sue applicazioni.
- 25/05/2007 dalle 12:00 alle 13:00
lezione.
Correnti poliedrali. Densità delle correnti poliedrali nelle
correnti intere (dimostrazione posposta). Norma flat delle correnti.
Esempi di stima della norma flat.
- 30/05/2007 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
Prodotto di correnti. Push-forward di correnti. La costruzione di cono.
- 30/05/2007 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
Teorema di deformazione poliedrale per correnti intere senza bordo in
R^n (cenno di dimostrazione).
- 30/05/2007 dalle 17:00 alle 18:30
lezione.
Varianti del teorema di deformazione poliedrale e
approssimazione in area (correnti intere o normali, con e senza bordo).
Nota sulla norma di k-vettori e k-covettori. Disuguaglianza
isoperimetrica. Slicing di una corrente normale o intera.
- 01/06/2007 dalle 11:00 alle 12:00
lezione.
Funzioni a variazione limitata (BV). Dipendenza BV dello
slicing di una corrente normale. Caratterizzazione della
rettificabilità via slicing.
- 01/06/2007 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
Dimostrazione del teorema di rettificabilità del bordo e teorema di
compattezza per correnti intere.