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insegnamento: Matematica e Statistica
corso di studi: Scienze Biologiche Molecolari (triennale)
anno accademico: 2006-2007
docenti: Giovanni Alberti (titolare, lezioni), Giacomo Lenzi (esercitazioni)
codice insegnamento: AA294

Lezioni

1. 02/10/2006 dalle 11:00 alle 13:00 lezione.
   Presentazione del corso: descrizione dei contenuti principali, modalità d'esame, testi di riferimento, mailing list, orario di ricevimento.
2. 05/10/2006 dalle 14:30 alle 15:30 lezione.
   Nozioni di base di trigonometria. Misura degli angoli in radianti; seno, coseno, tangente e loro significato geometrico. Relazioni fondamentali tra questi oggetti.
3. 05/10/2006 dalle 15:30 alle 16:30 lezione.
   Generalità sui grafici di funzioni, dominio, immagine. Grafici delle funzioni elementari: potenze, esponenziali, logaritmo (in base "e"), seno, coseno e tangente.
4. 09/10/2006 dalle 11:00 alle 13:00 esercitazione.
   Prova di verifica delle competenze matematiche, articolata su 13 esercizi a risposta multipla e 5 a risposta libera.
5. 12/10/2006 dalle 14:30 alle 15:30 esercitazione.
   Risoluzione di alcuni esercizi del test di verifica.
6. 12/10/2006 dalle 15:30 alle 16:30 lezione.
   Funzioni inverse. Esempi noti: radice, logaritmo. Funzioni trigonometriche inverse.
7. 16/10/2006 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Ancora funzioni inverse: esistenza dell'inversa e iniettività. Esame dei casi noti (logaritmo, radice, ecc.).
8. 16/10/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Definizione dei numeri complessi z=x+iy con i unità immaginaria. Somma e prodotto di numeri complessi. Inverso di un numero complesso (e divisione). Esempi di calcolo.
9. 19/10/2006 dalle 14:30 alle 15:30 lezione.
   Modulo, coniugato ed inverso di un numero complesso. Radici quadrate di un numero negativo (e poi di un numero complesso qualsiasi). Coordinate polari (r e alfa) di un punto nel piano; relazione con le coordinate cartesiane (con dimostrazione).
10. 19/10/2006 dalle 15:30 alle 16:30 lezione.
    I numeri complessi visti come punti del piano. Argomento e forma trigonometrica di un numero complesso z = r (cos(alfa) + i sin(alfa)). Formula per il prodotto d due numeri complessi (con dimostrazione).
11. 23/10/2006 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Forma trigonometrica per i numeri complessi, formula per il prodotto e le potenze (con dimostrazione). Esempi di calcolo delle potenze e delle radici di un numero complesso.
12. 23/10/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Il problema della pendenza della retta tangente al grafico di una funzione. Definizione intuitiva di limite. Definizione di derivata di una funzione. Calcolo della derivata di x^2. Un'interpretazione fisica: la velocità come derivata dello spostamento
13. 25/10/2006 dalle 09:00 alle 10:00 lezione.
    Elenco commentato di derivate di funzioni elementari (le dimostrazioni verranno date in un secondo momento) e di regole di derivazione (con dimostrazioni).
14. 25/10/2006 dalle 10:00 alle 11:00 esercitazione.
    Esempi di calcolo delle derivate
15. 06/11/2006 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Applicazioni della derivata allo studio di funzioni:
    1) la derivata positiva implica che la funzione è crescente,
    2) nei punti di massimo e minimo (assoluto o locale) la derivata si annulla.
16. 06/11/2006 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    Esempio di studio di funzione, problema di ricerca di minimo, determinazione del numero di soluzioni di un'equazione (non risolubile esplicitamente).
17. 09/11/2006 dalle 14:30 alle 15:30 lezione.
    Applicazioni della derivata allo studio di funzioni: 3) la derivata seconda positiva implica la convessità della funzione, 4) criterio di massimalità o minimalità locale sulla base della derivata seconda.
18. 09/11/2006 dalle 15:30 alle 16:30 lezione.
    Dimostrazioni arretrate collegate alla tabella delle derivate delle funzioni elementari: esponenziale, logaritmo, potenze, funzioni trigonometriche, funzioni trigonometriche inverse.
19. 13/11/2006 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Definizione intuitiva di limite. Limiti delle funzioni elementari agli estremi del dominio di integrazione. Come utilizzare i limiti noti. Aritmetica con + e - infinito. Il teorema di de L'Hôpital.
20. 13/11/2006 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    Esempi di calcolo di limiti semplici. Esempi di uso del teorema di de L'Hôpital.
21. 16/11/2006 dalle 14:30 alle 15:30 lezione.
    Dimostrazione parziale del teorema di de L'Hôpital. Confronto di infiniti ed infinitesimi (<<). Tabella di confronto per le funzioni elementari (potenze, esponenziali e logaritmo).
22. 16/11/2006 dalle 15:30 alle 16:30 lezione.
    Esempi di applicazione della tabella di confronto per funzioni elementari. Dimostrazione dei risultati in essa contenuti.
23. 17/11/2006 dalle 14:30 alle 16:30 esercitazione.
    Simulazione di compitino.
24. 20/11/2006 dalle 11:00 alle 13:00 esercitazione.
    Risoluzione degli esercizi dati nella simulazione di compitino di Venerdì 17.
25. 23/11/2006 dalle 14:00 alle 17:30: svolgimento della prima prova in itinere (compitino).
26. 27/11/2006 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Sviluppo di Taylor in 0 all'ordine k: enunciato del teorema (senza dimostrazione). Notazione degli "o" piccoli (notazione di Landau).
27. 27/11/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Sviluppi di Taylor (di ordine arbitrario) delle funzioni fondamentali: e^x=exp(x), sin x, cos x, log(1+x), 1/(1-x), 1/(1+x), (1+x)^a (solo all'ordine 1). Applicazioni: formula per il numero "e" e per "pigreco".
28. 30/11/2006 dalle 14:30 alle 15:30 lezione.
    Dimostrazione del teorema sullo sviluppo di Taylor. Definizione di equivalenza asintotica per infiniti ed infinitesimi. Principio di sostituzione degli infinitesimi (e degli infiniti) nel calcolo del limite di un prodotto o di un rapporto.
29. 30/11/2006 dalle 15:30 alle 16:30 lezione.
    Definizione di parte principale di una funzione. Determinazione della parte principale usando lo sviluppo di Taylor. Definizione dell'integrale (definito) di f(x) come area del sottografico. Calcolo approssimato dell'integrale (esempio f(x)=x^2).
30. 04/12/2006 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Come calcolare l'integrale definito a partire da una primitiva: Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione).
31. 04/12/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Tecniche di calcolo degli integrali definiti ed indefiniti (primitive): lista di primitive di funzioni elementari, regola per l'integrale della somma di due funzioni, per il prodotto di funzione per costante, integrazione per parti.
32. 07/12/2006 dalle 14:30 alle 15:30 lezione.
    Dimostrazione della regola di integrazione per parti. Integrazione per cambio di variabile (con dimostrazione).
33. 07/12/2006 dalle 15:30 alle 16:30 esercitazione.
    Esempi di calcolo degli integrali (in particolare per parti e per cambio di variabile).
34. 11/12/2006 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Integrali con estremi infiniti. L'area di una figura piana come integrale delle lunghezze delle sezioni. Il volume di un solido come integrale delle aree delle sezioni.
35. 11/12/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Il lavoro di una forza come esempio di integrale. Esempi di equazioni differenziali: oscillatore armonico (massa appesa ad una molla) ed equazione di diffusione (sale che si scioglie in acqua).
36. 14/12/2006 dalle 14:30 alle 15:30 lezione.
    Equazioni differenziali del primo ordine. Problema di Cauchy (o ai dati iniziali): teorema di esistenza ed unicità (senza un enunciato preciso, giustificato traducendolo in un problema discreto).
37. 14/12/2006 dalle 15:30 alle 16:30 lezione.
    Equazioni lineari del primo ordine: formula risolutiva ed esempi. Equazioni a variabili separabili: formula risolutiva ed esempi.
38. 18/12/2006 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Equazioni differenziali lineari del primo e del secondo ordine: struttura delle soluzioni nel caso omogeneo; equazione caratteristica associata e formula per le soluzioni nel caso omogeneo a coefficienti costanti.
39. 18/12/2006 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    Esercizi sulle equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.
40. 20/12/2006 dalle 09:00 alle 10:00 lezione.
    Esercizi sulle equazioni differenziali lineari omogenee del II ordine; esempi significativi: l'oscillatore armonico (massa appesa ad una molla), l'oscillatore armonico smorzato, il pendolo.
41. 20/12/2006 dalle 10:00 alle 11:00 lezione.
    Equazioni differenziali lineari NON omogenee: struttura delle soluzioni, ricerca di soluzioni particolari in alcuni casi particolari. Esempi. Il fenomeno della risonanza.
42. 08/02/2007 dalle 14:30 alle 16:30 esercitazione.
    Esercizi di ripasso su sviluppo di Taylor, parte principale, equazioni differenziali.
43. 09/02/2007 dalle 14:00 alle 17:30: seconda prova in itinere.
44. 12/02/2007 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni con ripetizione, permutazioni, disposizioni senza ripetizione, combinazioni (con giustificazione delle formule trovate). Binomio di Newton.
45. 12/02/2007 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    Applicazioni del calcolo combinatorio ad alcuni semplici problemi.
46. 14/02/2007 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Definizione di probabilità nel caso uniforme (numero dei casi favorevole diviso numero dei casi possibili). Ragione di scommessa. Probabilità di avere k teste lanciando n monete. Formula di Stirling.
47. 14/02/2007 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    Esercizi di probabilità elementare (difficoltà varia).
48. 19/02/2007 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Definizione astratta di probabilità per uno spazio di eventi elementari finito. Probabilità uuniforme. Esempi di costruzione di spazi di probabilità.
49. 19/02/2007 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Nozione di eventi indipendenti e probabilità condizionale. Formula di Bayes.
50. 21/02/2007 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Spazio di probabilità per il lancio di due dadi. Costruzione dello spazio di probabilità per il lancio di n monete (a partire dall'indipendenza dei risultati di monete distinte).
51. 21/02/2007 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    Esercizi di probabilità.
52. 22/02/2007 dalle 14:30 alle 15:30 lezione.
    Variabili aleatorie. Definizione e significato di media e varianza.
53. 22/02/2007 dalle 15:30 alle 16:30 lezione.
    Variabili aleatorie indipendenti. Esempi. Covarianza. Varianza di somme di due variabili aleatorie (indipendenti e non).
54. 28/02/2007 dalle 14:30 alle 16:00 lezione.
    Ripasso della teoria svolta in precedenza sulle probabilità su uno spazio di eventi finito, con esempi.
55. 28/02/2007 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Ripasso della teoria svolta in precedenza sulle variabili aleatorie con finiti valori, con esempi.
56. 02/03/2007 dalle 14:30 alle 16:00 lezione.
    Media e varianza per somme di due (o più) v.a. indipendenti. Media del prodotto di due v.a. indipendenti. Calcolo di media e varianza per la distribuzione di Bernoulli e per la distribuzione binomiale.
57. 02/03/2007 dalle 16:00 alle 17:00 esercitazione.
    Calcolo di media e varianza in alcuni casi concreti. Uso delle formule introdotte in precedenza.
58. 07/03/2007 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Media campionaria di variabili aleatorie indipendenti con uguale media ed uguale varianza. Calcolo di media e varianza. Legge debole dei grandi numeri (con dimostrazione). Interpretazione in termini misure o esperimenti ripetuti.
59. 14/03/2007 dalle 14:30 alle 16:00 lezione.
    Definizione di probabilità nel caso continuo. Probabilità su un intervallo definita tramite una funzione di densità. Definizione di media e varianza di una variabile aleatoria con distribuzione di probabilità continua. Esempi.
60. 14/03/2007 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Distribuzione normale (o Gaussiana) di media mu e varianza sigma^2 (con verifica). Il teorema del limite centrale (solo enunciato).
61. 16/03/2007 dalle 14:30 alle 15:30 lezione.
    Media e varianza (uniforme e pesata) per un insieme di dati numerici. Moda (classe modale) per una famiglia di dati non ordinati, classe mediana per una famiglia di dati ordinati.
62. 21/03/2007 dalle 14:30 alle 16:00 lezione.
    Confronto tra la media di un insieme di dati e la media di un campione casuale di n elementi (a partire dalla varianza dei dati).
63. 21/03/2007 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Vettori in R^n: norma, somma, prodotto scalare e loro significato geometrico.
64. 28/03/2007 dalle 14:30 alle 16:00 esercitazione.
    Esercizi di probabilità. Esercizi ed esempi sui vettori.
65. 30/03/2007 dalle 14:30 alle 16:00 lezione.
    Matrici. Somma e prodotto di matrici. Prodotto di matrici e vettori (colonna). Determinante ed inversa di una matrice quadrata (in particolare in dimensione 2 e 3). Impostazione e risoluzione dei sistemi lineari in termini di matrici e vettori.