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insegnamento: Calcolo Differenziale
corso di studi: Matematica (triennale)
anno accademico: 2005/2006
docenti: Giovanni Alberti (titolare, lezioni), Maria Stella Gelli (esercitazioni)
codice insegnamento: AA131

Lezioni di Giovanni Alberti

1. 26/09/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Presentazione del corso: descrizione dei contenuti principali, modalità d'esame, testi di riferimento, mailing list, orario di ricevimento.
2. 26/09/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Vettori in R^N, prodotto scalare, modulo, ed interpretazione geometrica, disuguaglianza di Schwartz e disuguaglianza triangolare (senza dimostrazione). Prodotto vettoriale in R^3, interpretazione geometrica.
3. 29/09/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Limite per successioni in R^N, teorema di Bolzano-Weierstrass. Nozione di punto interno, punto di accumulazione, e punto di frontiera per un insieme in R^N. Relazioni tra i vari concetti (lasciate in parte come esercizi). Alcuni esempi.
4. 03/10/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Parte interna, frontiera e chiusura di un insieme. Insiemi aperti ed insiemi chiusi. Successioni e compattezza per successioni. Caratterizzazione dei compatti come insiemi chiusi e limitati (con dimostrazione).
5. 03/10/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Funzioni da R^N in R^M: definizione di limite e di continuità. Le funzioni continue su un compatto ammettono massimo e minimo (Teor. di Weierstrass, con dimostrazione). Cenno alle proprietà principali delle funzioni continue (dimostrazione lasciata per esercizio).
6. 06/10/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Funzioni da un aperto di R^n in R: definizione delle derivati parziali (in un punto). Esempio di calcolo. Definizione di derivata direzionale. Definizione di differenziabilità (come esistenza dello sviluppo di Taylor all'ordine 1).
7. 10/10/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Significato geometrico di differenziabilità e derivate parziali in termini di grafico della funzione. L'esistenza di tutte le derivate direzionali non implica la differenziabilità.
8. 10/10/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Teorema del differenziale totale (con dimostrazione). Derivate parziali e gradiente per funzioni da R^n in R^m. Derivata delle funzioni composte. Alcuni esempi di calcolo.
9. 17/10/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Dimostrazione della regola di derivazione della funzione composta. Derivate parziali di ordine superiore. Funzioni di classe C^k. Matrice Hessiana (derivata seconda) di una funzione reale.
10. 17/10/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Teorema di Schwartz: motivazione euristica e dimostrazione. Enunciato della formula di Taylor all'ordine 1 e 2 (in notazione matriciale) per funzioni scalari.
11. 20/10/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Formula di Taylor all'ordine 1 e 2 con resto di Peano e resto di Lagrange, con dimostrazioni. In un punto di massimo o minimo locale interno al dominio si annulla il gradiente. Esempio di ricerca di massimi e minimi.
12. 24/10/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Ricerca di punti critici stabili (motivazione dalla meccanica). Matrici simmetriche e forme quadratiche: ripasso delle nozioni eesenziali. Condizioni sufficienti di massimalità e minimalità locale.
13. 27/10/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazione della condizione sufficiente di minimalità e massimalità locale. Svolgimento di alcuni esercizi teorici connessi alla dimostrazione.
14. 27/10/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Caratterizzazione delle matrici simmetriche (semi-) definite sulla base del polinomio caratteristico (con dimostrazione). Casi particolari.
15. 31/10/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra (il punto di minimo di |P(z)| è uno zero di P(z)). Integrale di funzioni in due variabili: definizione informale come volume del sottografico.
16. 31/10/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Teorema di Fubini per funzioni su un rettangolo (con giustificazione euristica a partire dal principio di Cavalieri). Formula di cambio di variabile. Applicazioni ed esempi. Integrale della Gaussiana.
17. 07/11/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Definizione (rigorosa) di integrale secondo Riemann-P-J. per funzioni limitate su un (pluri-) rettangolo. Uniforme continuità ed integrabilità delle funzioni continue.
18. 07/11/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Integrale su un dominio limitato non rettangolare. Domini misurabili (caratterizzazione in termini di misura esterna ed interna). Classi significative di domini misurabili.
19. 10/11/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazione del teorema di Fubini (per funzioni continue su un rettangolo nel piano). Approssimazione dell'integrale tramite somme finite per funzioni continue e Lipschitziane.
20. 15/11/2005 dalle 14:00 alle 17:00: prima prova in itinere (compitino).
21. 17/11/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazione della formula di cambiamento di variabili negli integrali multipli.
22. 21/11/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Spazi metrici: definizione e topologia; completezza. Spazi vettoriali normati: definizione e topologia. Spazi di Banach.
23. 21/11/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Lo spazio C(K) delle funzioni continue su un compatto K e la norma della convergenza uniforme. La convergenza uniforme di funzioni continue implica la continuità del limite e la convergenza degli integrali.
24. 24/11/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Convergenza uniforme di funzioni e derivate. Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme, totale. Serie di potenze.
25. 01/12/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Serie di Taylor di una funzione. Quando la serie di Taylor coincide con la funzione? Teorema delle contrazioni.
26. 05/12/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine. Soluzioni massimali. Equazioni e sistemi lineari.
27. 05/12/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Formulazione generale del problema di Cauchy. Enunciato del teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy. Motivazione euristica dell'unicità. Alcuni esempi.
28. 06/12/2005 dalle 15:00 alle 16:00 lezione.
    Enunciato preciso del teorema di esistenza ed unicità in grande, comportamento delle soluzioni agli estremi del dominio di definizione. Quando è verificata la condizione di Lipschitzianità.
29. 06/12/2005 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Il teorema di esistenza ed unicità in piccolo (dimostrato attraverso l'equazione integrale di Volterra ed il teorema delle contrazioni).
30. 12/12/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Conclusione della dimostrazione del teorema di esistenza ed unicità in grande. Dimostrazioni arretrate di alcuni lemmi.
31. 12/12/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Applicazione della teoria alle equazioni a variabili separabili. Esempio di non unicità delle soluzioni.
32. 15/12/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Il lemma di Gronwall. Applicazioni: teorema di esistenza globale, teorema di dipendenza continua dai dati. Esempi di applicazione di questi risultati.
33. 19/12/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Equazioni lineari di ordine n. Struttura dello spazio delle soluzioni. Indipendenza lineare e determinante Wronskiano. Polinomio caratteristico e soluzioni delle equazioni omogenee a coefficienti costanti.
34. 19/12/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Equazioni differenziali lineari: metodo della variazione delle costanti, della riduzione dell'ordine, degli annichilatori. Esempi.
35. 20/12/2005 dalle 15:00 alle 18:00: seconda prova in itinere.