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insegnamento: Elementi di Analisi Matematica
corso di studi: Matematica (triennale)
anno accademico: 2004-2005
docenti: Giovanni Alberti (titolare, lezioni), Ariela Briani (esercitazioni)
codice insegnamento: AA420

Lezioni di Giovanni Alberti

1. 27/09/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Presentazione del corso: descrizione dei contenuti, libri di testo, esami, mailing list, etc.
2. 27/09/2004 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
   Test di verifica articolato su 10 domande scritte.
3. 28/09/2004 dalle 15:00 alle 17:00 esercitazione.
   Correzione del test di verifica svolto nella lezione precedente, con varie divagazioni e commenti.
4. 30/09/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Insiemi numerici fondamentali. Spazio Euclideo n-dimensionale. Terminologia di base per le funzioni, dominio, codominio, immagine, funzioni iniettive e surgettive, funzione inversa, esempi.
5. 30/09/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Definizione di potenza a^b. Alcune classi di funzioni fondamentali (definizione e descrizione del grafico): x^a, a^x, sin x, cos x, tan x.
6. 04/10/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Iniettività e surgettività, interpretazione in termini di risoluzione di equazioni. Dimostrazioni: bigettivo equivale a invertibile, unicità dell'inversa. Discussione di alcune inverse.
7. 04/10/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
8. Il problema della retta tangente al grafico di una funzione. Definizione della derivata come limite del rapporto incrementale (senza una definizione precisa di limite). Calcolo "a mano" delle derivate di x^2 e di x^3.
9. 07/10/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Interpretazione fisica: la velocità come derivata. Elenco delle regole di derivazione: somma, prodotto, rapporto e composizione di due funzioni, derivata della funzione inversa. Elenco delle derivate delle funzioni elementari. Esempi.
10. 07/10/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Dimostrazione delle regole di derivazione e delle derivate delle funzioni elementari (per e^x si assume un certo limite notevole), tranne le funzioni trigonometriche.
11. 25/10/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazione delle formule di derivazione delle funzioni trigonometriche. Notazioni per la derivata. Convenienza di altre notazioni.
12. 25/10/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Derivata e monotonia (senza dimostrazioni rigorose). Punti di massimo e minimo locali (con definizione precisa). La derivata si annulla in tali punti.
13. 28/10/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Derivata e monotonia. Esempi di applicazione: minimo di x log x, dimostrare che e^x è maggiore o uguale a 1+x per ogni x. Definizione di funzione convessa (geometrica ed analitica). Convessità e derivata seconda (senza dimostrazione).
14. 02/11/2004 dalle 15:00 alle 16:00 lezione.
    Relazione tra convessità e derivata seconda (con dimostrazioni).
15. 02/11/2004 dalle 16:00 alle 17:00 esercitazione.
    Esercizi su disuguaglianze, e problemi di massimo e minimo.
16. 04/11/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Calcolo dell'area del sottografico di una funzione. Definizione dell'integrale come area. Approssimazione dell'integrale tramite somme finite. Esempi: 2x tra 1 e 2, x^2 tra 0 e 1, log x tra 1 e 2.
17. 04/11/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Primitiva di una funzione. Quante sono le primitive? Teorema fondamentale del calcolo (con due dimostrazioni differenti), e riduzione degli integrali al problema della determinazione della primitiva.
18. 08/11/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Calcolo delle primitive. Primitive delle funzioni elementari (x^a, a^x, log x, sin x, cos x, etc. etc.).
19. 08/11/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Regole per il calcolo delle primitive (integrazione per parti e cambio di variabile, con esempi e dimostrazioni).
20. 15/11/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Applicazione dell'integrale: lavoro di una forza, calcolo di aree e volumi (con giustificazione euristica). Esempi: volume della sfera e del cono.
21. 15/11/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Volume del solido di rotazione. Lunghezza del grafico di una funzione (con giustificazione euristica della formula).
22. 18/11/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Definizione di limite, e discussione della stessa.
23. 22/11/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Ancora sui limiti: limiti delle funzioni elementari (potenze, esponenziali, etc.), proprietà elementari dei limiti, forme indeterminate. Esempi di calcolo.
24. 22/11/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Sviluppo di Taylor (in zero) di ordine n. Significato, ed applicazione al calcolo dei limiti (con esempi elementari).
25. 25/11/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Sviluppo di Taylor e notazione di Landau ("o piccolo"). Sviluppi delle funzioni elementari. Calcolo degli sviluppi di Taylor a partire da quelli delle funzioni elementari.
26. 25/11/2004 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    Esempi di calcolo dei limiti e degli sviluppi di Taylor.
27. 29/11/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Notazione degli "o piccoli": regole d'uso. Definizione di equivalenza asintotica e principio di sostituzione di infiniti ed infinitesimi. Teoremi di de L'Hopital.
28. 29/11/2004 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    Esempi ed esercizi sugli argomenti svolti nell'ora precedente.
29. 30/11/2004 dalle 15:00 alle 18:00 esercitazione.
    Simulazione di prova scritta.
30. 06/12/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Motivazioni, esempi (dalla meccanica), fatti generali (teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy).
31. 06/12/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Equazioni differenziali lineari del primo ordine: soluzione generale tramite fattore integrante. Equazioni a variabili separabili.
32. 09/12/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Equazioni differenziali del secondo ordine: teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy. Equazioni lineari omogenee e non: struttura dello spazio delle soluzioni. Soluzione delle lineari omogenee a coefficienti costanti.
33. 14/02/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Numeri complessi: definizione "operativa" e definizione formale. Esempi di operazioni. Calcolo esplicito dell'inverso e della radice quadrata. Terminologia di base. Radici coniugate di un polinomio a coefficienti reali.
34. 14/02/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Notazione esponenziale per i numeri complessi. Calcolo del prodotto, delle potenze, e determinazione delle radici n-esime.
35. 17/02/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Nozioni di base di teoria degli insiemi. Funzioni. Relazioni di equivalenza e quozienti. Relazioni d'ordine (parziale e totale).
36. 21/02/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Equipotenza di insiemi. Potenza finita di un insieme A. Potenza A^B come insieme delle funzioni da B in A. Insieme delle parti. Prodotto di una famiglia qualunque di insiemi e assioma della scelta. Paradosso di Russell.
37. 21/02/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Non ordinabilità dei complessi. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). I numeri complessi come matrici. Quaternioni, rappresentazione come matrici. Definizione assiomatica dei numeri reali e loro unicità (senza dimostrazione).
38. 24/02/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Numeri naturali e principio di induzione, con esempi. Numeri interi, razionali, algebrici. Costruzione degli stessi all'interno dei reali. Deduzione della proprietà di Archimede a partire dagli assiomi.
39. 28/02/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Insiemi di numeri reali: definizione di massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore. Esempi. Esistenza di sup e inf. Reali estesi (ordinamento ed operazioni).
40. 28/02/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Elementi di calcolo combinatorio: permutazioni di un insieme S di n elementi (funzioni iniettive da S in sé) disposizioni, combinazioni.
41. 03/03/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Successioni: definizione formale, sottosuccessioni. Definizione di limite di una successione (finito e infinito). Esempi di successioni che convergono e che non convergono.
42. 07/03/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Definizione di limite di successione tramite gli intorni. Significato di "frequentemente" e "definitivamente". Proprietà fondamentali dei limiti (somma, prodotto, inverso, confronto, permanenza del segno, passaggio a sottosuccessione).
43. 07/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Teoremi fondamentali sulle successioni: esistenza del limite per le successioni monotone (con dimostrazione) e per le successioni di Cauchy (Teorema di Cauchy), Teorema di Bolzano-Weierstrass.
44. 10/03/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazioni: Teorema di Bolzano-Weierstrass e di Cauchy. Perché serve la completezza dei numeri reali.
45. 10/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Definizione (casi più importanti) e proprietà elementari (somma, prodotto, inverso, etc. etc.). Caratterizzazione in termini di limiti di successioni (teorema-ponte).
46. 14/03/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Funzioni continue. Definizione e proprietà fundamentali. Continuità della funzione composta (con due diverse dimostrazioni). Continuità delle funzioni elementari (dimostrazione rimandata).
47. 14/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Teorema di esistenza degli zeri (o dei valori intermedi) e teorema di esistenza di massimo e minimo (Weierstrass). Esempi di funzioni non continue (in un punto, in un intervallo). Necessità delle ipotesi nei teoremi menzionati sopra.
48. 21/03/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazione del teorema degli zeri (due versioni), del teorema dei valori intermedi, e del teorema di Weierstrass.
49. 21/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Definizione di equipotenza di insiemi. Insiemi finiti ed infiniti. I naturali sono equipotenti agli interi, ed ai razionali, ma non ai reali (con dimostrazioni). Nessun insieme è equipotente alle sue parti.
50. 22/03/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione: Uniforme continuità. Ogni funzione continua su un'intervallo chiuso e limitato è uniformemente continua. Funzioni monotone: classificazione dei punti di discontinuità. Iniettiva + continua implica monotona.
51. 22/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Confronto di cardinalità. Teorema di Cantor-Bernstein. I reali sono equipotenti alle parti dei naturali.
52. 11/04/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Soluzione del quarto esercizio del compitino. L'inversa di una funzione continua è continua (due dimostrazioni). Definizione di derivata. Il calcolo delle derivate è già stato svolto al primo semestre.
53. 11/04/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Derivabilità implica continuità. La derivata nei punti di massimo e minimo (locali) è nulla. Teorema di Rolle e di Lagrange (con dimostrazioni).
54. 14/04/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Applicazioni del teorema di Lagrange: teorema di Cauchy, limite della derivata, esempio di derivata non continua, proprietà di Darboux della derivata.
55. 14/04/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Teoremi di de L'Hopital (con dimostrazione nel caso "zero su zero", con cenno di dimostrazione nel caso "infinito su infinito"). Derivazione della funzione composta.
56. 18/04/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Derivabilità della funzione inversa (con dimostrazione). Definizione di integrale secondo Riemann. Esempio di funzione non integrabile secondo Riemann.
57. 18/04/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Enunciati dei teoremi fondamentali sull'integrale di Riemann. Proprietà di base dell'integrale (senza dimostrazioni). Le funzioni continue sono integrabili (con dimostrazione).
58. 21/04/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Integrabilità delle funzioni discontinue (cenno). Teorema fondamentale del calcolo integrale e calcolo degli integrali. Possibili estensioni (cenno).
59. 28/04/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Classi di funzioni: C^k, Lipschitziane. Derivata limitata implica Lipschitziana. Stima di convergenza delle somme finite all'integrale di una funzione Lipschitziana. Sviluppo di Taylor con resto integrale.
60. 02/05/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Sviluppo di Taylor con resto a) integrale, b) di Peano, c) di Lagrange. Calcolo numerico del valore di una funzione. Esempio: exp(1/10).
61. 02/05/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Definizione di (somma di una) serie. Esempi: serie geometrica (di base qualunque), serie armonica di esponente 1 e 2, serie telescopica.
62. 03/05/2005 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Condizione necessaria per la convergenza di una serie: termini infinitesimi. Serie a termini positivi. Criterio del confronto e del confronto asintotico, criterio del rapporto. Esempi di applicazione dei criteri.
63. 05/05/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Criterio della radici per serie a termini positivi. Criterio del confronto integrale, ed esempi fondamentali.
64. 05/05/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Serie a termini qualunque: la convergenza assoluta implica la convergenza. Criterio di Leibniz per serie a segni alterni. Esempi di convergenza assoluta e non.
65. 09/05/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Definizione di liminf e limsup di una successione. Esempi di calcolo di limsup e liminf. Versione migliorata del criterio della radice. Raggio di convergenza delle serie di potenze. Esempi di calcolo del raggio di convergenza.
66. 09/05/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Derivabilità di una serie di potenze (senza dimostrazione). Riordinabilità di una serie (senza dimostrazione). Serie di Taylor: possibili comportamenti, criterio di convergenza alla funzione. Serie di esponenziale, seno e coseno.
67. 12/05/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Equazioni differenziali lineari di ordine k. Teorema di esistenza ed unicità; giustificazione euristica. Equazioni lineari del primo ordine. Struttura dello spazio delle soluzioni.
68. 16/05/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Definizione del numero "e" e della funzione esponenziale come serie. Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti: polinomio caratteristico e soluzione generale.
69. 16/05/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Equazioni differenziali lineari: metodo di riduzione dell'ordine, metodo degli annichilatori.
70. 19/05/2005 dalle 11:00 alle 14:00, terza prova in itinere.