[torna all'archivio del materiale didattico]    [torna alla pagina della didattica]

Davide Vittone
Il teorema di struttura degli insiemi di perimetro finito

abstract:
Dopo aver introdotto la nozione di perimetro di un sottinsieme misurabile di R^n definiremo la frontiera ridotta di un insieme di perimetro finito, per poi presentare il noto risultato di De Giorgi che garantisce la (n-1)-rettificabilità di tale frontiera.

Emanuele Spadaro
1. Teorema di estensione Whitney.
2. Ogni insieme compatto di misura di Hausdorff H^d infinita contiene un sottoinsieme di misura finita positiva.

Alessio Figalli
Teorema di struttura degli insiemi H^1-finiti nel piano (Besicovitch)

abstract:
Dimostrerò che, per un insieme A (di Borel) in R^n di misura di Hausdorff 1-dimensionale positiva e finita, la densità superiore 1-dimensionale di A è 1 q.o. se e solo se A è rettificabile mentre è < 1 q.o. se e solo se A è puramente non rettificabile. Inoltre la misura di Hausdorff 1-dimensionale risulta semicontinua inferiormente sullo spazio X dei sottoinsiemi chiusi e connessi di R^n dotato della distanza di Hausdorff.

Annalisa Castellucci
Il lemma di Sard (in fondo i punti brutti non sono così tanti!)

abstract:
Dimostrerò che i valori critici di funzioni da R^m in R^n con sufficiente regolarità (almeno C^(m-n+1)) sono un insieme Lebesgue trascurabile e di prima categoria. Presenterò anche un controesempio nel caso non siano soddisfatte le ipotesi di regolarità sulla funzione.

Giuseppe Della Sala
Insiemi di Kakeya e di Besicovitch

abstract:
In analisi, la ricerca di controesempi a determinate congetture porta alla considerazione di sottoinsiemi trascurabili del piano che contengano copie di tutti gli elementi di una certa classe (e.g. tutte le circonferenze, tutti i rettangoli, etc.). Si mostrerà la costruzione di un compatto di misura nulla che contenga segmenti in ogni direzione (insieme di Besicovitch) e si ricaverà l'esistenza di insiemi di misura arbitrariamente piccola in cui si possa ribaltare un segmento (Kakeya). Si mostrerà poi che un insieme di Besicovitch deve avere dimensione di Hausdorff uguale a 2, introducendo le tecniche che stanno alla base di questa dimostrazione (in particolare i teoremi di proiezione).