Dati registro

insegnamento: Teoria Geometrica della Misura
anno accademico: 2003-2004
corso di studi: Matematica (specialistica)
docente: Giovanni Alberti
codice insegnamento: AA428

Lezioni
  1. 01/03/2004 dalle 13:30 alle 14:30 lezione.
    Misure esterne. Misurabili secondo Caratheodory e teorema di Caratheodory (con dimostrazione). Regolarità delle misure finite.
  2. 01/03/2004 dalle 14:30 alle 15:30 lezione.
    Costruzione della misura di Lebesgue. Misura e dimensione di Hausdorff. Proprietà elementari. Dimensione e misura dell'insieme di Cantor.
  3. 03/03/2004 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Lemma di Vitali, teorema di ricoprimento di Vitali (per misure doubling), teorema di densità di Lebesgue (per misure doubling).
  4. 04/03/2004 dalle 17:00 alle 18:00 replica della lezione precedente
  5. 08/03/2004 dalle 13:30 alle 15:30 lezione.
    Lemma di Besicovitch, teorema di densità di Lebesgue per misure qualunque su R^n. Teorema di esistenza dei punti di continuità approssimata per funzioni L^1. Teorema di Radon-Nikodym e densità delle misure.
  6. 10/03/2004 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Completamento delle dimostrazioni delle lezioni precedenti.
  7. 15/03/2004 dalle 10:00 alle 11:00 replica della lezione precedente
  8. 15/03/2004 dalle 13:30 alle 14:30 lezione.
    Densità di una misura e misure di Hausdorff. Costruzione di una misura sull'insieme di Cantor per stimarne la misura di Hausdorff (dal basso).
  9. 15/03/2004 dalle 14:30 alle 15:30 lezione.
    Costruzione di Hutchinson per frattali autosimili. Osservazioni ed esercizi sparsi.
  10. 17/03/2004 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Teoremi di densità e teoremi di derivabilità per funzioni di una variabile. Funzioni Lipschitziane in più variabili, teorema di Kirszbraun e Teorema di Rademacher.
  11. 22/03/2004 dalle 14:00 alle 15:00 replica della lezione precedente
  12. 24/03/2004 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Insiemi rettificabili k-dimensionali in R^n. Equivalenza delle diverse definizioni. Fibrato tangente. Esempio di insieme puramente non rettificabile nel piano.
  13. 25/03/2004 dalle 17:00 alle 18:00 replica della lezione precedente
  14. 29/03/2004 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Esistenza dello spazio tangente approssimato ad un rettificabile. Esempio di teorema di rettificabilità: funzioni quasi ovunque differenziabili in senso approssimato.
  15. 29/03/2004 dalle 15:00 alle 16:00 lezione.
    Misure invarianti su un gruppo topologico compatto (senza dimostrazioni). Misura di probabilità sulla Grasmanniana dei k-piani in R^n invariante per l'azione delle isometrie. Misura integralgeometrica.
  16. 31/03/2004 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Formula dell'area per funzioni C^1 tra k-varietà, e poi per funzioni Lipschitziane tra insiemi k-rettificabili. Formula di Binet.
  17. 01/04/2004 dalle 17:00 alle 18:00 replica della lezione precedente
  18. 05/04/2004 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
    Dimostrazione della formula dell'area. Formula di coarea: significato geometrico, enunciato generale per mappe Lipschitziane, ed ingredienti essenziali della dimostrazione.
  19. 19/04/2004 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
    Dimostrazione della formula di coarea.
  20. 21/04/2004 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Definizione di k-vettori, k-vettori semplici, interpretazione geometrica: immersione della Grasmanniana orientata in uno spazio lineare. Definizione di k-covettori e k-forme.
  21. 22/04/2004 dalle 16:00 alle 17:00 replica della lezione precedente
  22. 22/04/2004 dalle 17:00 alle 18:00: seminario di Davide Vittone.
    Teorema di struttura per la frontiera e la derivata degli insiemi di perimetro finito.
  23. 26/04/2004 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Superfici regolari orientate in R^n. Integrazione di una k-forma. Orientazione canonica del bordo. derivata esterna di una k-forma, Teorema di Stokes. Le (n-1)-forme come campi di vettori; divergenza e derivata esterna.
  24. 26/04/2004 dalle 15:00 alle 16:00 lezione.
    Casi particolari del teorema di Stokes: teorema della divergenza e teorema di Stokes classico. Pull-back di una forma, e formula di cambio di variabile. Dimostrazione del teorema di Stokes tramite riduzione al teorema della divergenza.
  25. 26/04/2004 dalle 16:30 alle 18:00: seminario di Emanuele Spadaro.Prima parte: teorema di Whitney. Seconda parte: esistenza di sottoinsiemi di misura di Hausdorff finita in un compatto di misura infinita.
  26. 28/04/2004 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Correnti come duale delle forme. Massa e comassa. Correnti normali e primo teorema di compattezza. Correnti rettificabili e correnti intere. Teorema di chiusura (senza dimostrazione).
  27. 29/04/2004 dalle 17:00 alle 18:00 replica della lezione precedente
  28. 10/05/2004 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
    Operazioni sulle correnti (rettificabili o di massa finita): prodotto, push-forward, costruzione del cono. 0-correnti normali come funzioni BV. 1-correnti normali come campi di vettori. Constancy lemma. Struttura delle correnti normali.
  29. 10/05/2004 dalle 16:30 alle 18:30: seminario di Alessio Figalli.
    Teorema di struttura degli insiemi H^1-finiti nel piano (teorema di Besicovitch).
  30. 12/05/2004 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Norma flat della corrente T: definizione come inf di M(U)+M(S) con T=U+d S, principali proprietà e caratteristiche. Caratterizzazione come sup di T(omega)  con |omega|, |d omega| < 1.
  31. 13/05/2004 dalle 17:00 alle 18:00 replica della lezione precedente
  32. 18/05/2004 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
    Teorema di deformazione poliedrale per correnti intere con e senza bordo, e per correnti normali con e senza bordo.
  33. 19/05/2004 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Approssimazione in massa delle correnti intere e correnti normali (dimostrazione solo per le correnti intere senza bordo).
  34. 20/05/2004 dalle 17:00 alle 18:00 replica della lezione precedente
  35. 24/05/2004 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
    Slicing di una corrente rettificabile secondo le curve di livello di una funzione C^1. Slicing di una corrente normale. Caratterizzazione della rettificabilità via slicing (teorema di B. White).
  36. 25/05/2004 dalle 16:00 alle 18:00 lezione.
    Dimostrazione del teorema di White. Dimostrazione del teorema di rettificabilità del bordo e del teorema di chiusura delle correnti intere.