Dati registro

insegnamento: Integrazione
corso di studi: Matematica (triennale)
anno accademico: 2003-2004
docenti: Giovanni Alberti (titolare, lezioni), Ariela Briani (esercitazioni)
codice insegnamento: AA132

Lezioni di Giovanni Alberti

1. 23/02/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Sistemi di equazioni lineari del primo ordine a coefficienti costanti. Formula risolutiva tramite esponenziale di matrici. Definizione e principali proprietà dell'esponenziale di matrici.
2. 23/02/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Calcolo di exp(Ax): alcuni casi semplici per matrici 2 x 2. Scomposizione di A come somma di matrici che commutano. Cambio di base (coniugio).
3. 26/02/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Studio qualitativo delle soluzioni delle equazioni non lineari y'=f(x,y). Esempio: y'=y^2+x: monotonia, campo di esistenza, comportamento ai limiti, convessità.
4. 26/02/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Lemma di Gronwall, versione scalare e vettoriale (con dimostrazione) ed applicazioni. Teorema del confronto, versione debole e forte (con dimostrazioni).
5. 01/03/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Esempi di equazioni differenziali in problemi di meccanica: oscillatore armonico (smorzato, forzato, risonanza). Equazione del pendolo e sua approssimazione lineare. Esempi: circuito LC (elettronica), sistema di molle accoppiate.
6. 01/03/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Teorema di Baire (con dimostrazione). Applicazione: funzioni continue non differenziabili in alcun punto.
7. 08/03/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Applicazioni del teorema di Baire: funzioni continue non derivabili in alcun punto, funzioni continue non monotone in alcun intervallo. (Non) convergenza per sottosuccessioni delle funzioni sin(nx).
8. 08/03/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Equivalenza di compattezza, compattezza sequenziale, completezza e totale limitatezza in uno spazio metrico.
9. 11/03/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Completamento delle dimostrazioni avanzate dalla lezione precedente. Teorema di Ascoli-Arzelà e teorema di Peano sull'esistenza delle soluzioni di un'equazione differenziale (senza dimostrazioni).
10. 15/03/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Insiemi definiti da equazioni. Teorema della funzione implicita: enunciato e dimostrazione in dimensione due.
11. 15/03/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Dimostrazione del teorema di Ascoli-Arzelà e del teorema di Peano.
12. 18/03/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazione del teorema della funzione implicita ed enunciato del teorema di invertibilità locale.
13. 22/03/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazione del teorema di invertibilità locale.
14. 22/03/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Definizione di spazio tangente ad un insieme e caratterizzazione. Spazio tangente al grafico di una funzione C^1. Spazio tangente ad un insieme definito tramite equazioni. Moltiplicatori di Lagrange. (Tutto senza dimostrazioni.)
15. 29/03/2004 dalle 11:00 alle 13:00 lezione.
    Dimostrazioni avanzate dalla lezione precedente.
16. 05/04/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    I punti critici sulla sfera di una forma quadratica sono autovettori della matrice associata. Dimostrazione alternativa del teorema di diagonalizzazione delle metrici simmetriche.
17. 05/04/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Curve in forma parametrica: regolarità della funzione e regolarità del supporto. Esempi. Lunghezza di una curva: definizione "intrinseca" e formula di calcolo.
18. 07/04/2004 dalle 09:00 alle 10:00 lezione.
    Dimostrazione della formula per la lunghezza di una curva. Esempi di parametrizzazioni e di calcolo. Integrale di una funzione reale su una curva. L'integrale è invariante per riparametrizzazione.
19. 07/04/2004 dalle 10:00 alle 11:00 lezione.
    Orientazione di una curva. Integrazione di un campo di vettori lungo una curva orientata (lavoro di una forza lungo un cammino). Potenziale e calcolo del lavoro. Come trovare il potenziale di un campo (se esiste).
20. 19/04/2004 dalle 11:00 alle 14:00: prima prova in itinere (compitino)
21. 22/04/2004 dalle 11:00 alle 13:00 esercitazione.
    Svolgimento degli esercizi del compitino.
22. 26/04/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Un campi di vettori su A ammette potenziale solo se ha rotore nullo. La condizione è sufficiente se A=R^n. Esistenza locale del potenziale. Campo solenoidale: cosa non funziona?
23. 26/04/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Un campi di vettori F ammette potenziale se e solo se ha integrale nullo su ogni cammino chiuso in A; questo si verifica quando A è semplicemente connesso ed F ha rotore nullo. Ogni aperto stellato è semplicemente connesso.
24. 29/04/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Terminologia: 1-forme e campi di vettori. Definizione di area di una superficie: perché l'approssimazione poliedrale non funziona.
25. 29/04/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Formula integrale per l'area del grafico di una funzione reale di classe C^1. Integrazione di funzioni scalari sul grafico di una funzione di classe C^1. Normale al grafico e flusso di un campo di vettori. Interpretazione fisica del flusso.
26. 10/05/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Aperti con bordo regolare in R^n. Definizione di flusso uscente di un campo di vettori. Divergenza di un campo di vettori. La divergenza è indipendente dalla scelta degli assi.
27. 10/05/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Teorema della divergenza (dimostrazione per parallelepipedi, domini normali, caso generale tramite partizioni dell'unità). Teorema di Gauss-Green. Sull'esistenza del potenziale nel piano. Derivazione dell'equazione di Laplace per il potenziale elettrico.
28. 13/05/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Superfici parametrizzate in R^3. Parametrizzazioni regolari. Prodotto vettore in R^3. Prodotto vettoriale fondamentale, formula dell'area per superfici parametrizzate (compatibilità nel caso di parametrizzazioni affini). Flusso di un campo.
29. 17/05/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Caratterizzazione geometrica del prodotto vettoriale. Rotore di un campo di vettori. Il rotore non dipende dalla scelta degli assi. Teorema di Stokes.
30. 17/05/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Dimostrazione del teorema di Stokes per superfici piane. Esistenza del potenziale di un campo di vettori in dimensione tre. Potenziale vettore.
31. 20/05/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Serie di Fourier reale e complessa. Prodotto scalare sullo spazio delle funzioni 2pi-periodiche. Le funzioni trigonometriche e gli esponenziali immaginari come sistemi ortonormali massimali. Teorema di convergenza per le funzioni di classe C^1.
32. 20/05/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Dimostrazione di ortonormalità e massimalità delle basi proposte (tramite il teorema di densità di Stone-Weierstrass), dimostrazione della convergenza della serie (tramite stime sui coefficienti).
33. 24/05/2004 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Convergenza della serie di Fourier: completamento della dimostrazione. Estensione a classi più generali di funzioni. Esempio di calcolo: f=x^2.
34. 24/05/2004 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Derivazione dell'equazione del calore in dimensione qualunque. Il ruolo delle condizioni al bordo. Risoluzione tramite serie di Fourier in dimensione (spaziale) uno con condizioni di periodicità al bordo (separazione delle variabili).
35. 26/05/2004 dalle 09:00 alle 10:00 lezione.
    Derivazione dell'equazione delle onde in una dimensione. Condizioni al bordo e dati iniziali. Risoluzione tramite serie di Fourier nel caso di condizioni al bordo periodiche.
36. 26/05/2004 dalle 10:00 alle 11:00 lezione.
    Esempi di calcolo della serie di Fourier e di risoluzione di equazioni alle derivate parziale (onde e calore, equazioni autonome). Non risolubilità nel passato dell'equazione del calore.