Dati registro

insegnamento: Calcolo Differenziale
corso di studi: Matematica (triennale)
anno accademico: 2003-2004
docenti: Giovanni Alberti (titolare, lezioni), Ariela Briani (esercitazioni)
codice insegnamento: AA131

Lezioni di Giovanni Alberti

1. 29/09/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Presentazione del corso. Ripasso delle nozioni di base: lo spazio vettoriale R^n, base canonica, distanza, definizione di limitatezza e convergenza di una successione di punti. Il prodotto di vettori in R^3 (definizione geometrica ed analitica).
2. 30/09/2003 dalle 09:00 alle 10:00 lezione.
   Successioni di punti in R^n: definizioni di limitatezza e convergenza, formulazioni equivalenti. Teorema di Bolzano-Weierstrass e di Cauchy.
3. 30/09/2003 dalle 10:00 alle 11:00 lezione.
   Terminologia sparsa per insiemi in R^n: punti interni, punti isolati, punti di accumulazione. Insiemi aperti ed insiemi chiusi. Caratterizzazione dei chiusi. Esempi.
4. 01/10/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Insiemi chiusi, aperti e compatti, caratterizzazione dei compatti come chiusi limitati. Chiusura, parte interna e frontiera di un insieme.
5. 01/10/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Funzioni da R^n in R^m, definizione di limite, di continuità ed uniforme continuità. Proprietà essenziali. Teorema di Weierstrass.
6. 06/10/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Ancora su limiti e continuità: caratterizzazione per successioni, caratterizzazione per componenti nel caso vettoriale, funzioni composte. verifica del limite sulle rette. Il limite può non esistere anche se il limite su tutte le rette esiste.
7. 06/10/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Derivate parziali: definizione, calcolo, notazione. Gradiente. Derivate di ordine superiore: calcolo e notazione, matrice Hessiana. Approssimazione con funzioni affini in un punto, e differenziabilità.
8. 08/10/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Teorema del differenziale totale, esempio di funzione che ammette tutte le derivate direzionali in un punto ma non è differenziabile.
9. 13/10/2003 dalle 11:00 alle 13:00 lezione.
   Derivate direzioni e differenziabilità, derivate miste, Teorema di Schwartz. Controesempio. Funzioni a valori vettopriali: continuità e differenziabilità, matrice Jacobiana, derivata delle funzioni composte (in termini di prodotto di matrici).
10. 20/10/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Notazione di Landau: "o grande" ed "o piccolo". Polinomi di grado k in n variabili, identità tra funzioni ed espressioni formali. Sviluppo di Taylor all'ordine k di una funzione reale di n-variabili (resto di Peano). Unicità dello sviluppo.
11. 20/10/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Esistenza dello sviluppo di Taylor per funzioni di classe C^k (senza dimostrazione). Sviluppo di Taylor all'ordine 1 e all'ordine 2 in notazione matriciale.
12. 22/10/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Massimi e minimi locali. Condizione necessaria di massimalità / minimalità locale. Matrici simmetriche, forme quadratiche, autovalori e positività. Discussione dei punti critici via matrice Hessiana (condizione sufficiente di massimalità / minimalità).
13. 27/10/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazioni arretrate: proprietà dei polinomi di n variabili ed unicità dello sviluppo di Taylor, dimostrazione dell'esistenza dello sviluppo di Taylor all'ordine k per funzioni di classe C^k.
14. 27/10/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Dimostrazione della classificazione dei punti critici via segnatura della matrice Hessiana. Alcuni esempi base. Funzioni. Definizione astratta di integrale secondo Riemann. Teorema di Fubini (senza dimostrazioni).
15. 03/11/2003 dalle 11:00 alle 13:00 lezione.
    Esempi di calcolo dell'integrale. Dimostrazione quasi rigorosa del teorema di Fubini. Teorema di cambiamento di variabile negli integrali multipli: enunciato e pseudo-giustificazione.
16. 05/11/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Complementi su derivate ed integrali. Integrali impropri (accenno veloce).
17. 10/11/2003 dalle 11:00 alle 13:00 lezione.
    Insiemi connessi. Teorema dei valori intermedi. Nozione topologica, connessione per archi, connessione per archi C^1. Esempi. Le nozioni coincidono per gli aperti. Le funzioni con gradiente nullo sono costanti.
18. 12/11/2003 dalle 09:00 alle 13:00: prima prova in itinere (compitino)
19. 17/11/2003 dalle 11:00 alle 12:00 esercitazione.
    Correzione del compitino.
20. 17/11/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Definizione formale di misura secondo R-P-J. Lemmi chiave. Comportamento della misura per cambiamento di variabile affine con pseudo-dimostrazione: il determinante di una matrice come volume (orientato) del parallelogrammo generato dai vettori colonna.
21. 24/11/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Caratterizzazione dell'integrabilità (secondo Riemann-Peano-Jordan) in termini di funzioni semplici. Teorema di Fubini, enunciato preciso e dimostrazione. Uniforme continuità ed integrabilità delle funzioni continue.
22. 24/11/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Approssimazione dell'integrale con somme finite. Stima effettiva dell'errore per funzioni Lipschitziane. Accenno di dimostrazione per la formula di cambiamento di variabile negli integrali multipli.
23. 26/11/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Dimostrazione del teorema di cambiamento di variabile negli integrali multipli. Varianti della formula di cambiamento di variabile negli integrali multipli. Definizione di convergenza uniforme di una successione di funzioni e teorema principale.
24. 01/12/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Convergenza uniforme e convergenza puntuale di una successione di funzioni reali. Limite uniforme di funzioni continue è continuo. L'integrale passa al limite per convergenza uniforme. Convergenza uniforme delle derivate e deriv. del limite. Esempi.
25. 01/12/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Definizione di spazio metrico completo. Esempi in dimensione finita. Teorema delle contrazioni. Definizione di spazio normato e di spazio di Banach. Gli spazi di Banach delle funzioni C^0 e delle funzioni C^1 su un intervallo.
26. 03/12/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Serie in uno spazio di Banach: convergenza totale e convergenza. Gli spazi C^0(I) e C^1(I) sono di Banach.
27. 03/12/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Equazioni differenziali di ordine k: soluzioni massimali, problema di Cauchy, enunciato teorema di esistenza ed unicità globale, giustificazione euristica per discretizzazione. Equazioni lineari: lo spazio delle soluzioni ha dimensione k.
28. 15/12/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Equazioni differenziali lineari: criterio di indipendenza lineare (determinante Wronskiano), soluzioni (reali e complesse) dell'equazione omogenea a coefficienti costanti (con dimostrazione).
29. 15/12/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Equazioni differenziali lineari: metodo di riduzione dell'ordine (variazione delle costanti, I). Come risolvere un'equazione non omogenea conoscendo le soluzioni dell'omogenea (variazione delle costanti, II).
30. 17/12/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Equazioni differenziali lineari: teorema degli annichilatori. Enunciato del teorema di esistenza ed unicità globale per sistemi di equazioni differenziali (non lineari) di ordine uno.
31. 17/12/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Enunciato e dimostrazione del teorema di esistenza ed unicità locale (forma integrale e teorema delle contrazioni). Dimostrazione del teorema per le equazioni di ordine k.