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insegnamento: Elementi di Analisi Matematica, II modulo
corso di studi: Matematica (triennale)
anno accademico: 2002-2003
docenti: Giovanni Alberti (titolare, lezioni), Ariela Briani, Vincenzo Maria Tortorelli (esercitazioni)
codice insegnamento: AA123

Lezioni di Giovanni Alberti

1. 25/02/2003 dalle 10:00 alle 12:00 lezione.
   Assiomi dei numeri reali, esistenza ed unicità (a meno di isomorfismi) dei numeri reali, alcune applicazioni dell'assioma di separazione, esempi di campi ordinati, il campo delle serie formali.
2. 26/02/2003 dalle 11:00 alle 13:00 lezione.
   Reali estesi (ordinamento ed operazioni), definizione di estremo inferiore e superiore, esistenza degli stessi. Successioni di numeri reali, definizione di limite di una successione. Limiti di successioni monotone.
3. 04/03/2003 dalle 10:00 alle 12:00 lezione.
   Proprietà dei limiti, con alcune dimostrazioni. Definizione di successione di Cauchy e caratterizzazione, teorema di Cauchy (ogni successione di Cauchy converge).
4. 05/03/2003 dalle 11:00 alle 13:00 lezione.
   Nuova dimostrazione del teorema di Cauchy, sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass (ogni successione ammette una sottosuccessione convergente). Definizione di insieme numerabile, esempi di insiemi numerabili, i reali non sono numerabili.
5. 05/03/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Insiemi numerabili, caratterizzazioni di insiemi numerabili e insiemi infiniti, prodotto finito di numerabili è numerabile, unione finita di numerabili è numerabile. Numerabilità di: numeri razionali, polinomi a coefficienti interi, numeri algebrici.
6. 06/03/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Nozione di equipotenza (uguale cardinalità) per insiemi infiniti. Confronto di cardinalità: equivalenza delle diverse nozioni. Paradosso di Russell. Teoremi di: Schroeder-Bernstein, di confrontabilità, di Cantor (solo enunciati).
7. 11/03/2003 dalle 10:00 alle 11:00 lezione.
   Successioni asintoticamente equivalenti, principio di sostituzione di infiniti ed infinitesimi. Il prodotto di successioni infinitesime per successioni limitate è infinitesimo.
8. 11/03/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
   Notazione: insieme delle parti, esponenziale di insiemi, prodotto infinito di insiemi. Assioma della scelta. Dimostrazione del Teorema di Cantor.
9. 13/03/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
   Dimostrazione del Teorema di Schroeder-Bernstein.
10. 18/03/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Lemma di Zorn, dimostrazione del teorema di confrontabilità, dimostrazione dell'esistenza di una base per uno spazio vettoriale di dimensione infinita.
11. 19/03/2003 dalle 11:00 alle 13:00 lezione.
    Definizione di limite di una funzione, collegamento tra limiti di funzioni e di successioni, proprietà di base dei limiti (a partire dalle proprietà dei limiti di successioni), limite di funzioni composte.
12. 20/03/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione non tenuta: Polo Fibonacci occupato, niente studenti, niente lezione.
13. 25/03/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Definizione di funzioni continue. Proprietà di base delle funzioni continue (a partire da quelle dei limiti). Le funzioni elementari sono tutte continue sul dominio di definizione (dimostrato in pochi casi semplici).
14. 26/03/2003 dalle 11:00 alle 13:00 lezione.
    Teoremi fondamentali sulle funzioni continue (con dimostrazioni): esistenza degli zeri (e quindi esistenza dei valori intermedi), esistenza di minimo e massimo (Teorema di Weierstrass).
15. 27/03/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Monotonia delle funzioni continue iniettive su un intervallo, continuità dell'inversa di una funzione continua, dimostrazione diretta della continuità dell'inversa (senza passare per la monotonia).
16. 03/04/2003 dalle 10:00 alle 13:00: prima prova in itinere (compitino).
17. 10/04/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Ancora sulle funzioni continue: limite destro e sinistro, esistenza di questi limiti per le funzioni monotone, continuità delle funzioni monotone e connessione dell'immagine. Dimostrazione diretta della continuità dell'inversa (remake).
18. 10/04/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Uniforme continuità. La Lipschitzianità implica uniforme continuità. La continuità su un chiuso limitato implica l'uniforme continuità.
19. 15/04/2003 dalle 10:00 alle 12:00 lezione.
    Definizione di derivata. Derivata e punti di massimo e minimo. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Controesempi sulle ipotesi dei teoremi precedenti. Esempi di funzioni non derivabili. Positività della derivata e monotonia della funzione.
20. 29/04/2003 dalle 10:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazioni: derivata dell'esponenziale, regola di derivazione della funzione composta e della funzione inversa. Calcolo della derivata di x^2 sin(1/x). Il limite della derivata coincide con la derivata nel punto. La funzione exp(-1/x^2).
21. 30/04/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Definizione di integrale (secondo Riemann) di una funzione limitata su un intervallo chiuso e limitato. Esempio di funzione non integrabile.
22. 06/05/2003 dalle 10:00 alle 12:00 lezione.
    Classi di funzioni integrabili: continue (con dimostrazione), monotone, insieme di discontinuità finito / numerabile / di misura nulla. Integrale di Cauchy. Stime di convergenza per funzioni Lipschitziane. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
23. 07/05/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Sviluppo di Taylor con resto integrale (con dimostrazione), passaggio allo sviluppo con resto di Lagrange (con dimostrazione) e con resto di Peano, ma con ipotesi non ottimali.
24. 07/05/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Definizione di convergenza degli integrali impropri, decomposizione del dominio. Calcolo degli integrali impropri. Gli integrali impropri di funzioni positive esistono sempre. Stima degli integrali impropri (confronto asintotico).
25. 08/05/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Definizione di somma di una serie. Convergenza implica termine infinitesimo. Serie esponenziale e serie telescopica. Serie a termini positivi: criterio del confronto asintotico, dell'integrale, del rapporto e della radice.
26. 14/05/2003 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazione dei vari criteri di convergenza per le serie a termini positivi. Integrali impropri di funzioni a segno variabile: assoluta integrabilità implica integrabilità. Esempi e controesempi.
27. 14/05/2003 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Serie a termini di segno variabile. L'assoluta convergenza implica la convergenza. Esempi e controesempi. Criterio di Leibniz per le serie a segno alterno.
28. 19/05/2003 dalle 10:00 alle 11:00 lezione.
    Definizione e caratterizzazione di liminf e limsup per una successione di numeri reali. Criterio della radice e raggio di convergenza di una serie di potenze. Derivata di una serie di potenze.
29. 20/05/2003 dalle 10:00 alle 11:00 lezione.
    Dimostrazioni dei teoremi sulle serie di potenze. Riordinabilità delle serie di numeri reali. Teorema fondamentale dell'algebra.