gauss-sylvester: ricopiare o non ricopiare

Al termine della lezione extra dedicata agli esercizi sulla teoria spettrale, esaurite tutte le energie mie e dei presenti, rimase aperto il dilemma amletico: quando si applica l’algoritmo di Gauss-Sylvester si puo` o non si puo` ricopiare senza preoccupazioni la riga appena calcolata sulla colonna avente lo stesso indice?

La regola corretta, sempre valida, e` che occorre applicare subito alle colonne la stessa operazione appena applicata alle righe. L’azione combinata delle due operazioni preserva la simmetria della matrice.

In pratica, pero`, si nota subito che, almeno per l’operazione caratteristica dell’algoritmo di Gauss – sommare ad una riga un multiplo di quella contenente il pivot – l’effetto della replica sulle colonne dell’operazione appena effettuata sulle righe e` di ricopiare la riga appena calcolata sulla colonna di uguale indice, con un non trascurabile risparmio di calcoli, ridotti all’incirca alla meta`. Cio` dipende dal fatto che, per tali operazioni ordinarie, i termini della colonna del pivot diventano nulli e non alterano piu` il termine comune a riga e colonna durante la replica dell’operazione: quello diagonale.

Cio` non accade, invece, quando si somma alla prima riga (ad esempio) un altra per creare un pivot al posto di uno zero presente in prima posizione: in tal caso il termine non nullo viene sommato due volte al termine di riga 1 e colonna 1, e quindi alla fine risultera` il doppio di quello della riga appena calcolata.

Un ragionevole (e corretto) compromesso potrebbe essere quello di differenziare il proprio comportamento: utilizzare tranquillamente la tecnica abbreviata nelle operarioni ordinarie: permutazioni di righe e di colonne e sostituzione di una riga con la sua somma con un multiplo di quella pivot per annullarne un elemento sotto il pivot, ed utilizzare invece la regola generale nei casi rari in cui si somma alla riga che conterra` il pivot un’altra con elemento corrispondente NON NULLO (matrici con diagonale di soli zeri). Per degli esempi, che temo siano indispensabili per capirci qualcosa, potrete fare riferimento alla dispensa AL_1.1, pag. 52 e seguenti.

Spero che queste considerazioni (e gli esempi) possano contribuire a diradare la nebbia…
Non escludo una dispensina a breve…
Buon anno nuovo!

accesso a “dispense”

Un vostro collega mi ha segnalato una difficolta`. La soluzione e`:

1) localizzare la punta di freccia diretta verso il basso, accanto a “materiali di studio” , o anche ad “esami”.

2) Cliccare sulla punta di freccia suddetta per far apparire il relativo menu a tendina.

3) Cliccare sulla voce richiesta (nel nostro caso: “dispense” nel menu associato a “materiali di studio”).

Se ci fossero problemi, fatemi sapere.

errore nella dispensa sul teorema di Gauss

Uno di voi mi ha segnalato che la dispensa sul teorema fondamentale dell’algebra conteneva lo stesso errore di segno che ho commesso in classe. L’ho corretto e, adesso, e` tutto a posto. Chi volesse evitare di ristampare tutto puo` andare direttamente alle pagine 8 e 9.
Puo` anche, alternativamente e molto piu` rapidamente, correggere i due segni + in segni – . Vi prego di osservare che, se ci fossero stati i segni +, la permanenza del segno non sarebbe servita a niente, e la prova sarebbe stata molto piu` rapida.

Pregherei anche lo studente che me l’ha segnalato di indicarmi di nuovo anche l’altro errore che aveva notato, perche’ non lo ricordo piu`.

regalino

Un vostro collega mi ha sottoposto una formula rapida per la distanza fra rette sghembe in $latex mathbbm{R}^{3}$. La dispensina che segue illustra la formula e la sua dimostrazione (fuori-programma): puo` risultare molto utile.

Eccola!

correzione in una dispensa

A pag. 4 della dispensa AL_4.4, sulle proprieta` della matrice trasposta, ho trovato un piccolo pasticcio (nell’enunciato!) sanato, gia`all’epoca, nella dimostrazione. Ora e` stato eliminato, e l’enunciato e` corretto.

distanza di un punto da un piano

Un vostro collega mi ha mostrato una formula per il calcolo della distanza di un punto da un piano parametrico, valida solo in $latex mathbbm{R}^{3} $.
Non sono affatto convinto che possa cambiare la vita ad alcuno, ma lascio a voi la scelta.

Eccola qui.